Suceciones Infinitas

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÒN
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “RAFAEL MARIA BARALT”
CIUDAD OJEDA, ESTADO ZULIA

Bachilleres:
Alfonso Romero CI: 19.625.563
Eliezer Rumbos CI: 19.007.625
Bryan Frías CI: 20.250.601
PROF: Erwuins Rodríguez
Ciudad Ojeda, Marzo de 2010
Esquema:

* Sucesionesinfinitas

* Series infinitas y propiedades

* Criterios de convergencia

* Series alternantes

* Series de potencias

* Series de Maclaurin

* Series de Taylor

* Series complejas

* Serie de Fourier

* Sucesiones infinitas:
Es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros mayores o iguales que un entero dado. Si I representa el conjunto de losenteros y K es un entero dado, entonces la función:
F = {(n, y) / y = F (n), n E I, n ≥ K}

Otra definición de sucesión:
Si es una sucesión y

Entonces es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

Los números son los términos de la serie infinita.
* Dominio general de una Sucesión:
Viene dado por el siguiente método:
1) Para la sucesión {an}={3+(-1)n}, los cuatro términos primeros son:
3 + (-1)1, 3 + (-1)2 , 3 + (-1)3, 3 + (-1)4, ....... R= 2, 4, 2, 4, ......
2) Para la sucesión {bn}= {2n/(1 + n), los cuatro términos primeros son:
2*1 /(1 + 1), 2*2 /(1 + 2), 2.3/(1 + 3), 2*4 /(1 + 4),.....R= 2/2, 2/3, 6/4, 8/5,.....
* Definición del Límite de una Sucesión:
Se define de la siguiente manera; Si para ð > 0 existe M >0 tal que [an- L] < ð siempre que n > M ,entonces decimos que el límite de la sucesión {an} es L y escribimos :
Limn-ðð an= L
Las sucesiones que tienen límite (finito) se llaman convergentes y las demás
Divergentes.
* Límite de una Sucesión:
Sea f función de una variable real tal que :
Límx-oo f (x) = L
Si {an}es una sucesión tal que f (n) = an para todo entero positivo n, entonces :
Límn-ooan = L
Propiedades de los Límites de las sucesiones:
Si: Límn-oo an= L y Límn-oo bn = K
Las siguientes propiedades son válidas:
1) Límn-oo(an+- bn) = L +- K 2) Lím n-oo can = cL, c es cualquier número real.
3) Límn-oo (an bn) = LK 4) Límn-oo an/bn = L/K, solo si bn es diferente de 0
* Determinando la Convergencia o Divergencia de una sucesión:
Determinar la convergencia en lassiguientes sucesiones:
1) an = 3 + (-1)n 2) bn = n / 1-2n
1) an = 3 + (-1)n solución: como an = 3 + (-1)n tiene términos 2, 4, 2, 4,..... que oscilan entre 2 y 4 , no hay límite y la sucesión diverge.
2) Para {bn}, podemos dividir por n numerador el denominador para obtener:
Límn-oo n /(1- 2n) = Límn-oo [1/(1/oo) - 2] = -1/2 ,por lo tanto la sucesión converge a -1/2.

* Sucesiones Monótonas:Una sucesión es monótona si sus términos son no decrecientes:
1, 2, 3, 4, 5, 6, ........
o si sus términos son no crecientes:
1, 4, 3, 8, 5, ...........
Determinando si una sucesión es monótona, se toman las siguientes sucesiones como ejemplos:
 {an}= {3+(-1)n} Esta sucesión alterna entre 2, y 4 por lo tanto no es monótona. Y
 {bn}= {2n/(1 + n) Monótona , por que cada término es mayor quesu predecesor.
* Sucesiones Acotadas:
Una sucesión {an} es acotada si existe un número real positivo M tal que [an] sea menor o igual que
M para todo n.
Llamamos a M una cota superior de la sucesión por ejemplo las tres sucesiones siguientes son acotadas
debido a :
[3+(-1)n] es <o = a 4, [2n / 1+n] es < o = a 2 y [n2/2n-1] es < o = 4/3
Debido a que los números reales soncompletos lo cual significa geométricamente que no hay agujeros ni huecos en la recta real, este axioma de completitud de los reales puede ser utilizado para concluir que si una sucesión tiene cota superior, entonces ha de existir una mínima cota superior. Así, la cota superior mínima de la sucesión {an} = {n /n + 1},
1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ..., n/(n+1), .......
es 1, ya que la sucesión es monótona...