Sucesión de Fibonacci y el número áureo

Sucesión de 
Fibonacci y el 
número áureo 
 
   

ÍNDICE:
1- Contenidos matemáticos 
1.1 Sucesión 
1.2 Sucesión de Fibonacci 
1.3 Rectángulo áureo: - estrella pentagonal 
- espiral de Fibonacci 
- en el cuerpo humano 
- en genealogía 
- en la naturaleza 
1.4 Relación entre la sucesión de Fibonacci y el nº áureo
1.5 Ejemplos
2- Metodología del trabajo
3- ¿Por qué hemos escogido este tema y suimportancia en el mundo
real?
4-¿Qué conceptos nuevos hemos introducido?

1- Contenidos matemáticos
1.1 Sucesión
→​
Conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra ordenadas de una manera
determinada.

→​
Puede ser: - Finita ​
ej​
.​
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1  
​
                   ­ ​
Infinita​
 ​
ej​
. ​
{4, 3, 2, 1..} va de 4 a infinito 

1.2 Sucesión de Fibonacci
→​
Sucesión infinitade números naturales: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8…
→​
Los dos primeros nº de la sucesión: 0, 1
→​
Los siguientes términos son la suma de los dos términos anteriores
EXPLICACIÓN​
:​
0+1=1; 1+ 1 =2; 1+2=3; 2+3=5…

Forma general:​
xn = xn-1 + xn-2
​
●
●
●

x​
término en posición "n"
n​
→​
​
x​
→​
​
término anterior (n-1)
n-1​
x​
→​
​
término anterior a ese (n-2)
n-2​

EJEMPLO:​
el sexto término se calcula: ​x​
= x​
+ x​
= x​
+ x​
=5+3=8
6​
6-1​
6-2​
5​
4​
→​
Los cocientes entre dos números de la sucesión, se aproximan al número
áureo (1'61803...).
→​
La inventó Fibonacci
→​
La podemos encontrar en: - juegos
- matemáticas
- música
- naturaleza
- humanos ​
→​
Hombre de Vitruvio (Leonardo Da Vinci)

1.3 Rectángulo áureo y ​
Ø

→​
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lounimos
​
con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, y así
obtenemos el lado mayor del rectángulo.

→​Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, el lado mayor del rectángulo vale

y la

proporción entre los dos lados es:​
 

→​
Una propiedad de los triángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales juntos la
diagonal AB pasa por el vértice C.

→​
Se lellama: Número de oro (Ø) o fi ​
→​
1,61803... ​
→​
nº irracional
→​
Se llama también: sección áurea, media de oro, número de oro, proporción divina,
sección divina, proporción áurea...
→​Cuanto más grandes los números de Fibonacci, nos acercamos más al número de oro.
A
2
3
8
233

B
3
5
13
377

B/A
1.5
1.666666666...
1.625
1.618025751...

APLICACIÓN:
●

1- Dividir 1 entre un número

●

2- Sumamos1

●

3- Obtenemos el resultado y volvemos a empezar

Cálculo:

… así sucesivamente. Empezamos con el nº2

Número
2
1,5
1,666...
1,6
1,625

1/número
1/2=0,5
1/1,5 = 0,666...
1/1,666... = 0,6
1/1,6 = 0,625
1/1,625 = 0,6154...

Suma 1
0,5+1=1,5
0,666... + 1 = 1,666...
0,6 + 1 = 1,6
0,625 + 1 = 1,625
0,6154... + 1 = 1,6154...

1,6154... 

  

  

→​
Aparece en: crecimiento de las plantas, las piñas,la distribución de las hojas en un tallo,
en el arte, formación de caracolas… 
→​
El número fi es la relación o proporción entre dos segmentos de una recta. Están en la
misma proporción que la suma de dos segmentos y el segmento más largo. Debemos
dividir la longitud del segmento inicial entre Ø y dará como resultado el trozo mayor.   

- La estrella pentagonal
→​
QN, NP y QP están en proporciónáurea

- El espiral de Fibonacci
→​
Serie de 4 círculos conectados que se pueden dibujar dentro de una serie de cuadrados
que dependen del nº áureo para cada dimensión.
→​
Los cuadrados encajan perfectamente

→​
Cualquier cifra es igual a la suma de las dos anteriores

→​
Fórmula para calcular cualquier número de Fibonacci usando la razón de oro:

→​
El resultado: siempre es un número entero,igual a la suma de los dos términos
anteriores.
EJEMPLO:

→​
Propiedades: - se puede escribir
- Se puede expandir en una fracción de no acaba nunca: fracción continua.
 
 
  

 
  

- En el hombre ​
→​
Vitruvio

→​
El hombre es el centro del Universo por esto está inscrito en un círculo y un cuadrado.
→​
Cuadrado: clásico. Se realiza un estudio anatómico para encontrar proporcionalidad en
el...