sucesiones 1

TEMA

6

Sucesiones y series num´
ericas

Objetivos: Los objetivos son: (1) estudiar la convergencia de las sucesiones
num´ericas, (2) Conocer las series num´ericas y sus propiedades; (3) saber aplicar
los criterios y estudiar la convergencia de las series num´ericas.

Prerrequisitos: Manipulaci´
on de expresiones y propiedades de las funciones
elementales. Concepto de l´ımite de una funci´on yc´alculo de l´ımites (regla de
L’Hˆopital).

Contenido:
´ n 6.1 Sucesiones nume
´ricas. Definicio
´ n, caracter´ısticas
Leccio
´ lculo de
y convergencia. Estudio de la convergencia y ca
´simos equivalente.
l´ımites. Infinite
´ n 6.2 Series nume
´ricas. Definicio
´ n, propiedades elemenLeccio
tales y suma de series. Criterios de convergencia.
´ n 6.3 Series funcionales. Introducci´on: funcionesdefinidas
Leccio
mediante series. Series de potencias y series de Taylor. Aplicaciones a la
suma y aproximaci´
on de series num´ericas. Series trigonom´etricas y serie
de Fourier.

Ingenier´ıa Inform´
atica. C´
alculo para la computaci´on

217

218

C´alculo para la computaci´
on

´ 6.1
LECCION

Sucesiones num´
ericas
La palabra sucesi´
on designa una colecci´on ordenada de objetos, de modo
que uno deellos se identifica como el primero, otro como el segundo, etc. Por
lo tanto, una sucesi´on num´erica es una secuencia de n´
umeros ordenados.
´ n 6.1 Una sucesi´on de n´
Definicio
umeros reales es una aplicaci´
on a : N → R.
0

1

2

3

...

n

...

↓

↓

↓

↓

...

↓

...

a0 a1 a2 a3 . . .

an . . .

Estas funciones se representan con notaci´on de sub´ındices en lugar de con
par´entesis, esdecir, al 0 le hace corresponder a0 (en lugar de a(0)), al 1 le
hace corresponder a1 (en lugar de a(1)), y as´ı sucesivamente.
Los n´
umeros reales a0 , a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . son los t´erminos de la sucesi´
on;
an es el t´ermino n-´esimo de la sucesi´on, es decir, el t´ermino que ocupa la
posici´
on n y se denomina t´ermino general de la sucesi´on; y la sucesi´on completa
se denota {an}, o simplemente an . En algunas ocasiones no ser´a posible o no
interesar´
a comenzar la sucesi´on con a0 , sino en cualquier otro t´ermino, de
modo que la sucesi´on ser´a: {ak , ak+1 , ak+2 , . . . } para alg´
un k > 0.
Ejemplo 6.1.1 Veamos algunos ejemplos de sucesiones:
Los t´erminos de la sucesi´on an =

1
con n ≥ 1 son
n

1 1 1
1
1, , , , . . . , . . .
2 3 4
n
Los t´erminos de la sucesi´on bn= (−1)n son
1, −1, 1, −1, 1, . . . , (−1)n , . . .
Los t´erminos de la sucesi´on cn =

2n − 1
con n ≥ 1 son
n2

21 − 1 22 − 1 23 − 1 24 − 1
3 7 15
,
,
,
· · · = 1, , , , . . .
12
22
32
42
4 9 16
Los t´erminos de la sucesi´on dn =

1 + 2 + 3 + ··· + n
con n ≥ 1 son
nn

1 1+2 1+2+3 1+2+3+4
3 2 5
,...
, 2 ,
,
, · · · = 1, , ,
1
3
4
1
2
3
4
4 9 128

E.T.S.I.Inform´
atica

Tema 6: Sucesiones y seriesnum´ericas.

219

En los ejemplos anteriores, hemos definido la sucesi´on a partir de la f´ormula que proporciona el t´ermino general. Sin embargo, existen otras formas de
expresar o dar a conocer los t´erminos de una sucesi´on. Una de ellas es utilizando una propiedad caracter´ıstica. Por ejemplo, la sucesi´on de n´
umeros
naturales acabados en 7 es {7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, . . . }, lasucesi´on de n´
umeros pares es {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, . . . }, la sucesi´on de m´
ultiplos de 3 es
{3, 6, 9, 12, 15, . . . } o la sucesi´
on de n´
umeros primos es {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . }.
Otra forma de definir una sucesi´
on es mediante una ley de recurrencia
o f´ormula que permita calcular un t´ermino a partir de los t´erminos que le
preceden. En este caso ser´
a necesario conoceruno o varios t´erminos iniciales.
Por ejemplo, la ley de recurrencia:

 a =1
1
 an = n + an−1 si n > 1
define la sucesi´on {1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, . . . } donde an es la suma de los n primeros n´
umeros naturales, que tambi´en se puede expresar as´ı:
n

an =

k=
k=1

n(n + 1)
2

Dependiendo de la ley de recurrencia, a veces es necesario conocer m´as de un
t´ermino de la sucesi´
on. Por...