Sucesiones aritmetias y geometricas

Sucesiones Aritméticas y Geométricas
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Definición de sucesión aritmética
Una sucesión  es una sucesión aritmética si hay un número real  tal quepara todo entero positivo  , 
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.
El número  se le llama diferencial común dela sucesión.
Dada una sucesion aritmetica:
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k+1 = a+ d
para todo entero positivo K. Esto nos da una formula recursiva paraencontrar terminos sucesivos .A partir de cualquier numero real a1. obtendremos una sucesion aritmetica con diferencia comun d con solo agregar d a a1, luego a a1+d y asi sucesivamente, con lo queresulta
Observa que la diferencia común  es la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión aritmética.
El n-ésimo término de una sucesión aritmética-------------------------------------------------


Teorema: fórmulas para 
Si  es una sucesión aritmética con diferencia común , entonces la n-ésimasuma parcial  (esto es, la suma de los primeros  términos), está dada por
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oDemostración
Podemos escribir

.
Con el uso repetido de las propiedades conmutativa y asociativa de números reales resulta 
,
con  veces dentro del primer par de paréntesis. Así
.
La expresióndentro de corchetes es la suma de los primeros  enteros positivos. Con la fórmula para la suma de los primeros  enteros positivos, , entonces tenemos-------------------------------------------------


Sustituimos en la última ecuación por  y factorizamos con lo cual
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