Sucesiones infinitas

Definición de sucesión infinita  
 
Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos.
En este trabajo, el intervalo de una sucesióninfinita será un conjunto de números reales.
Si una función f es una sucesión infinita, entonces a cada entero positivo n le corresponde un número real f(n).Estos números delintervalo de f pueden representarse al escribir:
 
f(1),f(2),f(3),...f(n),...
 
Para obtener la forma de subíndice de una sucesión, hacemos an=f(n) para todo entero positivo n. Siconsideramos una sucesión como una función f, entonces podemos considerar su grafica en un plano xy. Como el dominio de f, es el conjunto de enteros positivos, los únicos puntos dela grafica son
 
(1,a1),(2,a2),(3,a3),...,(n,an),...,
 
Donde an es el n-ésimo término de la sucesión.
De acuerdo con la definición de funciones, vemos que una sucesión a1,a2,a3,...,an es igual a una sucesión  b1,b2,b3,...,bnsi y solo si ak=bk para todo entero positivo k.
 
Otra notación para una sucesión con n-ésimo termino an es {an}; porejemplo, la sucesión {2n} tiene como n-ésimo termino an= 2n  Con la notación de sucesiones, lo escribimos de esta manera: 21,23,23,...,2n,...
Por definición, la sucesión {2n} es lafunción f con f(n)=2n Para todo entero positivo n.
A veces tendremos que hallar la suma de muchos términos de una sucesión infinita. Para mayor facilidad al expresar tal suma contamoscon la notación de sumatoria. Dada una sucesión infinita
 a1,a2,a3,...,an  el símbolo 
 

La letra griega mayúscula sigma Σ, indica una suma, y el símbolo ak representa elk-ésimo termino. La letra k  es el índice de sumatoria, o variable de sumatoria, y los números 1 y m dan los valores mínimo y máximo de variable de sumatoria respectivamente.