Sucesiones numericas

MATEMÁTICAS Prof: Gabriel Ivorra

PROGRESIONES NUMÉRICAS - 1 -

SUCESIONES NUMÉRICAS
Una Sucesión numérica es una relación entre los números naturales y los números reales, de manera que, para cualquiera de aquellos obtenemos un número real. Los números que forman la sucesión se llaman términos (a1, a2, a3, ...). El término general (an) es aquel que representa a todos los términos de lasucesión. ej:

¥

1 2 3 4

¡

2 4 6 8

En este ejemplo, los términos de la sucesión son: 2, 4, 6, 8, ..... El primero a1=2, el segundo a2=4, el décimo a10=20, así succesivamente. Al término general an=2n, dándole valores enteros a n, obtenemos los diversos términos de la sucesión.

10 n

20 2n

1. Calcula el criterio mediante el cual se han formado numéricas siguientes, añadiendo trestérminos más. a) 1, 2, 3, 4, 5, ... b) 2, 4, 6, 8, 10, ... d) 1, 4, 9, 16, 25, ... e) 1, 8, 27, 64, 125, ... g) 4, 7, 10, 13, 16, ... h) –2, 1, 6, 13, 22, ... j) -1/2, -2/3, -3/4, -4/5, ... k) 1/3, 4/6, 9/9, 16/12, ... m) -1, 2, -3, 4, -5, ... n) 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

cada una de las sucesiones c) f) i) l) 3, 6, 9, 12, 15, ... 1, 3, 5, 7, 9, ... 2, 4, 8, 16, 32, ... 0’1, 0’01, 0’001, ...

2.A partir de los términos generales de las siguientes sucesiones numéricas, calcula sus tres primeros términos a1, a2, a3, y el que ocupa el décimo lugar, a10. a) an=(5-3n) b) an=(n2-4) c) an=(-1)n.n3 d) an=(2n-1):n e) an=2n+1 f) an=(n2-2):(2n2-1) si n es par ì 5 g) an= í 3 h) a1=3, a2=5, an=an-1-an-2 î- n si n es impar 3. Dejamos caer una pelota desde una altura de 2 m y después de cada rebote, laaltura se reduce a la mitad de la anterior. Escribe la sucesión de las alturas alcanzadas, su término general, razona si crece o decrece y su tendencia (límite). 4. Alguien puso una pareja de conejos, acabados de nacer, en un corral. Cada pareja recién nacida necesita un mes para hacerse adulta, durante el cual no se reproduce. Cada pareja origina mensualmente una nueva pareja, según la siguientetabla: 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 1 1 2 3 5 8 a) Completa la tabla y obtén el término general b) ¿Cuántas parejas habrá después de un año y medio de comenzar la experiencia?
Número de parejas Al comenzar el mes

10º

11º

12º

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PROGRESIONES NUMÉRICAS - 2 -

PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
Una Progresión Aritmética es una sucesión donde cadatérmino se calcula sumándole al anterior una cantidad constante, llamada diferencia (d). · ej: 5, 8, 11, 14, ... es una progresión aritmética de diferencia d=3, pues 8-5=11-8=14-11=3 Como cada término se calcula sumándole la diferencia al anterior ® a1
+d +2d +3d +9d +(n–1)·d

a2

a3

a4

... a10

...

an

a2=a1+d, a3=a1+2d, a4=a1+3d, ... ®

an=a1+(n–1)·d que relaciona an con elprimero.

5. Entre las siguientes sucesiones numéricas: · Identifica las que son progresiones aritméticas. · Escribe su término general. · Obtén los términos que ocupan las posiciones 10ª y 21ª a) 10, 7, 4, 1,... b) 1, 2, 4, 7, ... c) 2’7, 2’9, 3’1, ... e) 2, 4, 8, 16,... f) 90, 78, 66, ... g) 5, 10, 15, 20,...

d) 2/3, 1, 4/3, 5/3, ...

Propiedad: “En cualquier p.a., la suma de términos queequidistan de los extremos es constante” · ej: 5, 8, 11, 14, 17, 20 ® si sumamos primero y último término = a1+a6=5+20=25 a2+a5= 8+17=25 a3+a4= 11+14=25 ... Suma de los n primeros términos de una p.a. Llamamos a la suma Sn= a1 + a2 +..... an-1 + an por la propiedad conmutativa de la suma Sn= an + an-1 +..... a2 + a1 si sumamos ambas expresiones ® 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an-1+a1)+(an+a1) comotodos los paréntesis son iguales, por la propiedad anterior, y hay n paréntesis ® ( a1 + an ) ·n ® 2Sn=(a1+an)·n ® S n = 2 ex: obtener la suma de los 20 términos de la p.a. 5, 8, 11, 14, 17, 20, .... ® ya sabíamos que la diferència d=3, falta calcular a20=a1+19·d=5+19·3=62 Por tanto la suma S20 =

( a1 + a20 )
2

·20 =

(5 + 62) ·20 640 = 2

6. Calcula el término general de una p.a....