Sucesiones_y_series

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I – SUCESIONES NUMÉRICAS
Consideremos el conjunto N de los números naturales y a cada uno de estos números asociemos un número
real bien determinado que notaremos an. Es decir, a 1 le hacemos corresponder el a1, al 2 el a2 y así
siguiendo. Obtenemos, entonces, un conjunto ordenado de valores o una sucesión de números reales que
indicaremos por
a1 , a2 , a3, ... , an , ... o por ( an )
Cadaelemento de la sucesión se llama término. Así a1 es el primer término; a2 el segundo término; an el
enésimo término. Cada elemento an tiene uno que le sigue, es decir el término an+1.
Tengamos, entonces, presente que una sucesión nos expresa que existe una ley que a cada natural le hace
corresponder un real.
Para definir una sucesión, es necesario, entonces, dar la mencionada ley, lo que, comúnmentese obtiene con
una fórmula que expresa el valor del término general an.
Por ejemplo, escribiendo:
1
an =
n
1 1 1
1
Se individualiza a la sucesión, (an): 1, , , , ..., , ...
2 3 4
n
Una sucesión se puede representar gráficamente en una recta. Para el ejemplo anterior se tiene

a4=¼

0

a2=½

a 1= 1

Definición: Se llama sucesión numérica real a una función numérica real f, definida sobre elconjunto de
los números naturales; f : Ν → ℜ .
Su gráfica se compone de infinitos puntos aislados.
Ejemplo:

1

•
•

1

2

•

3

•
4

5

Observemos que estos puntos son una parte de la gráfica de la función f ( x) =

1
; x > 0.
x

Algunas veces, se necesitan dos o más expresiones para indicar una sucesión.

Ejemplos:
1)

a1 = a 2 = 1
representa a la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

a n+1 = a n + a n −1para n ≥ 2

2

2)

a 2n −1 = n

a 2n = n 2

representa a la sucesión 1, 1, 2, 4, 3, 9, ...

Igualdad de sucesiones: Se dice que dos sucesiones (an) y (bn) son iguales, si para todo n, los números an y
bn coinciden.
Operaciones entre sucesiones:
Se llama suma de las sucesiones (an) y (bn), a la sucesión denotada por (an) + (bn) y dada por (an) + (bn)
= (an + bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3,... , an + bn).
Se llama resta de las sucesiones (an) y (bn), a la sucesión denotada por (an) - (bn) y dada por (an) - (bn) =
(an - bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn).
Se llama producto por un número real c a la sucesión denotada por c(an) y dada por
c(an) = (c an) = (ca1, ca2 , ca3 , ... , can).
Se llama producto de las sucesiones (an) y (bn), a la sucesión denotada por (an) (bn) ydada por (an) (bn)
= (an bn) = (a1b1, a2 b2, a3 b3, ... , an bn)
Se llama cociente de las sucesiones (an) y (bn), a la sucesión
a 
( a n )  a n   a1 a 2 a3
=   =  , , ,..., n  donde bi ≠ 0 para todo i = 1, ... , n.
(bn )  bn   b1 b2 b3
bn 
Entre las sucesiones más sencillas, se encuentran las sucesiones constantes, que son aquellas que a todo
valor n le hace corresponder el mismonúmero real c.
Por ejemplo, la sucesión 2, 2, 2, ... es una sucesión constante que se representa por an = 2.

Ejercicios:
1) Escribir los cinco primeros términos, de cada una de las sucesiones, cuyo término general es:
a ) an = 1 −

1
n

d) a 2 n-1 = 1 ; a 2n = 2n 2

b) a n =

1
2

n

c) a n =

2n
1 + n2

e) a1 = 1 ; a n = 2a n−1

2) Hallar el término general, an, de cada una de las siguientessucesiones:

1 1 1
a) 1, , , , ...
3 5 7
1 1 1
b) 1, − , , − , ...
2 3 4
1 4 9
16
c) , − , , − , ...
2 9 28 65
d) 5, 10, 30, 120, 600, ...

I. 1 - LÍMITE DE SUCESIONES
Existen algunas sucesiones (an), tales que a medida que el subíndice n aumenta los valores an en la recta, se
van aproximando alrededor de un punto fijo, que notaremos L.

3

Por ejemplo, si a n = (−1) n

1
n

a1

a3

-1

1
1
1
; a 3 =− ; a 4 = ; ...
2
3
4

entonces a1 = −1 ; a 2 =

0

-1/3

a4

a2

¼

½

1

A medida que el subíndice n crece los valores an = (−1)n

1
n

se van

aproximando al número

L = 0.
Es decir, a partir de un cierto valor del subíndice, al que llamaremos N, todos los valores que siguen a aN en
la sucesión, se encuentran "cerca" de L.
Tomemos un entorno de L de radio ε. Las sucesiones que estamos...