Sucesiones Y Progresiones

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería

Trabajo Colaborativo (Taller) N°1


INTRODUCCIÓN

En el siguiente desarrollo se verán aplicados algunos conceptos importantes para la solución de los problemas matemáticos a solucionar. Para esto se tomaran los conceptos de sucesiones y progresiones.

Es esencial tener en claroque una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro y para la suma de n términos consecutivos se tiene que Sn=(a1+a2)n2.

Y que la progresión es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por la letra d. Se debe tener en cuenta que el término general de unaprogresión donde se conoce el primer término se define como an=a1+n-1d.

Para resolver los ejercicios que involucren tanto una sucesión como una progresión se debe tener en claro el termino recurrente, este se reduce en una ecuación que define una secuencia recursiva; cada término de la secuencia es definido como una función de términos anteriores.

DESARROLLO

FASE 1
1) Hallar los 6primeros términos de la siguiente sucesión:
1. Un=(n-1)n-1; n≥2
U2=(2-1)2-1=(1)1=1
U3=(3-1)3-1=(2)2=2*2=4
U4=(4-1)4-1=(3)3=3*3*3=27
U5=(5-1)5-1=(4)4=4*4*4*4=256
U6=(6-1)6-1=(5)5=5*5*5*5*5=3125
U7=(7-1)7-1=(6)6=6*6*6*6*6*6=46656
2. Vn=3nn+1; n≥1
V1=3*11+1=32=1.5
V2=3*22+1=63=2
V3=3*33+1=94=2.25
V4=3*44+1=125=2.4
V5=3*55+1=156=2.5
V6=3*66+1=187≅2.572) Identificar el término general dados el primer término y la relación de recurrencia.
1. U0=-1 ; Un=Un-1-3
U1=U0-3=-1-3=-4
U2=U2-1-3=-4-3=-7
U3=U3-1-3=-7-3=-10
U4=U4-1-3=-10-3=-13
U5=U5-1-3=-13-3=-16
El término general es: Un=-1-3n
2. U0=-1 ; Un=Un-13
U1=u1-13=-13
U2=u2-13=-1/33=-19
U3=u3-13=-1/93=-127
U4=u4-13=-1/273=-181U5=u2-13=-1/813=-1243
El término general es: Un=-13n
3) Sucesiones monótonas. Demostrar que Wn=n2n+1 es estrictamente creciente.
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.
W0=0(2*0)+1=0
W1=1(2*1)+1=12+1=13
W2=2(2*2)+1=24+1=25
W3=3(2*3)+1=36+1=37
W4=4(2*4)+1=48+1=49
W5=5(2*5)+1=510+1=511
Wn+1≥Wn; Wn+1-Wn≥0 Es estrictamente creciente Wn=n2n+1 ya que cadatérmino se hace mayor que el anterior.
4) Demostrar que es Xn=1n;n≠0 es estrictamente decreciente.
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada termino de la sucesión es menor que el anterior.
X1=11=1
X2=12=0.5
X3=12=0.33333
X4=14=0.25
X5=15=0.2
Xn+1<Xn La sucesión es estrictamente decreciente Xn=1n;n≠0 ya que cada termino se hace menor que al anterior.
5) Sucesionesacotadas. Hallar la mínima cota superior de la sucesión: Vn=2n+1n;n≥1
Una sucesión esta acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales a un número k, que será la cota superior de la sucesión.
V1=(2*1)+11=2+11=31=3; k=3
V2=(2*2)+12=4+12=52
V3=(2*3)+13=6+13=73
V4=2*4+14=8+14=94
V5=(2*5)+15=10+15=115
Vn+1≤k;Vn+1≤3La mínima cota superior de la sucesión Vn=2n+1n;
n≥1 es 3 ya quees el valor más grande que puede tomar la sucesión.
FASE 2
6) determinar si es acotada y hallar la cota superior e inferior: Vn=n2n+1;n≥1
V1=12*1+1=12+1=13
V2=22*2+1=24+1=25
V3=32*3+1=36+1=37
V4=42*4+1=48+1=49
V5=52*5+1=510+1=511
La sucesión Vn=n2n+1;n≥1 esta acotada en 13≤Vn<
7) Determinar las cotas superior e inferior de:
Yn=1n; n≥1
Y1=11=1
Y2=12
Y3=13
Y4=14
Y5=15
Su mínimacota superior es 1; y su cota inferior tiende a 0 pero no es igual a 0.
La sucesión Yn=1n;n≥1 esta acotada en 1≥Yn>0.
8) Sucesiones convergentes. Demostrar que la sucesión Vn=n1-3n es convergente y a que converge.
Una sucesión es convergente cuando su límite existe.
limn→∞(n1-3n)nn1n-3nn=10-3=-13 El límite existe.
La sucesión converge a -13.
9) Demuestre que la sucesión Wn={n2-2n-n}...