sucesiones y progresiones

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO
Unidad Académica de Ciencias y Tecnologías de la Información
Licenciatura en Ciencias y Tecnologías de la Información
Pensamiento, Lógico Heurístico y Creativo

Sucesiones
Concepto de sucesión
Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado de infinitos números reales
a1, a2, a3, a4, a5,..., an
Cada uno de los números reales a1, a2, a3, a4, a5,...,an se llama término de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
El conjunto ordenado de números impares 3, 5, 7, 9, 11, 13,... es una sucesión de números reales.
Al término:
an = 3 + 2(n-1)
se le llama término general, an es una expresión matemática que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.
Sin embargo, no todas las sucesiones tienentérmino general. Por ejemplo, en la importante sucesión de los números
primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... no hay ninguna fórmula que exprese el término general.

Progresiones aritméticas
Consideremos la sucesión de término general
an = 3n + 2
{an }= {5, 8, 11, 14, 17, 20,...}
Observamos que cada término de la sucesión es igual que el anterior más 3. Se dice que la sucesión an es unaprogresión
aritmética y que d = 3 es la diferencia de la progresión.

Definición
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior
más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
En la progresión anterior:
a1 = 5,
a2 = 8 y
d = 8 - 5 = 3.
En ocasiones nos referimos a la progresión formada por los nprimeros términos de la progresión; en este caso se trata de
una progresión aritmética limitada.
Son progresiones aritméticas:
 Los múltiplos de 2 o números pares: 2, 4, 6, 8, 10... La diferencia es d = 2.
 Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15... La diferencia es d = 3.
 Los múltiplos de a: a, 2a, 3a, 4a, 5a... La diferencia es d = a.

Término general de una progresión aritmética
Fijémonosen la progresión aritmética ilimitada a1, a2, a3, a4, a5,..., an,... Según la definición, cada término es igual al
anterior más la diferencia.

Pensamiento Lógico, Heurístico y Creativo

Arturo De León Chapa

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Pensamiento,Lógico Heurístico y Creativo
a2= a1 + d
a3= a2+ d = a1+ d + d = a1 + 2d
a4= a3+ d = a1+ 2d + d = a1+ 3d

Si conocemos el 1er término.
Generalizando este proceso se obtiene el término general:
an= a1 + (n-1) d
• El término general de la progresión aritmética 5, 8, 11, 14...es:
an = 5 + (n - 1) · 3
an = 5 + 3n – 3
an = 3n + 2
• El término general de una progresión aritmética en la que a1 = 13y d = 2 es:
an = 13 + (n - 1) 2
an = 13 + 2n – 2
an = 2n + 11

Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
Se puede conseguir otra expresión para el término general en función de otro término cualquiera, en lugar del
primer término.
Como:
an = a1 + (n - 1) d
y
ak = a1 + (k - 1) d
despejando a1 en ambas expresiones e igualando resulta:
an = ak + (n - k) da4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Interpolación de términos en una progresión aritmética
Supongamos que queremos intercalar entre 2 y 14 tres números a, b y c de manera que 2, a, b, c, 14 estén en progresión
aritmética.
Tenemos que:
a1 = 2, a5 = 14 y n = 5.
Aplicando la expresión del término general de una progresión aritmética, se tiene que:
a5 = a1 + 4d
14 =2 + 4d
d=3
Por tanto, la progresión aritmética es: 2, 5, 8, 11, 14. Este problema, que consiste en intercalar varios términos entre dos
dados, se denomina interpolación

Así, “interpolar “m” medios aritméticos o medios diferenciales entre dos números “a” y “b” significa hallar
“m” números x1, x2, …,xm tal que la sucesión a, x1, x2, …,xm, b sea una progresión aritmética de m+2
términos.”...