Sucesiones Y Progresiones

Sucesiones y progresiones
Sucesión
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Dada las sucesiones infinitas, averiguar las fórmulas del n-ésimo término:
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Sumatoria
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Como en una sucesión n es un número entero positivo, la suma de los n primeros términos de una sucesión se denota por Sn.
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[pic]Propiedades de la sumatoria [pic]
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Sucesiones creciente y decrecientePara explicar la diferencia entre las dos sucesiones veamos:
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Sean las sucesiones:
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Observemos que en la primera sucesión a medida que aumenta el valor de n, aumenta el correspondiente término de la sucesión, a diferencia de la segunda sucesión, que a medida que aumenta el valor de n, disminuye el correspondiente término de la sucesión.
Al primer caso es lo que se llama una funcióncreciente y al segundo caso función decreciente.
En forma general se tiene que:
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Progresiones
Una progresión es una sucesión de términos formados de acuerdo con una propiedad.
Las progresiones se clasifican en progresiones aritméticas y progresiones geométricas.
 
[pic]Progresión aritmética
Es una sucesión cuyos términos tienen de diferencia el mismo número real. Es decir que en cadatérmino a excepción del primero, se obtiene al sumar al término anterior el mismo número real, que es una constante. El signo de la progresión aritmética es,[pic] y entre cada término y el siguiente se escribe un punto.
Así, [pic] 1. 4. 7. 10……….. .es una progresión aritmética creciente cuya razón es 3porque 1 + 3 = 4, 4 + 3 = 7, 7 + 3 = 10, etc.
En toda progresión aritmética, la razón se hallarestándole a un término cualquiera el término anterior.
Así en la progresión
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[pic]Término n - ésimo de una progresión aritmética
Si se tiene la progresión aritmética ¸ [pic] a. b. c. d. e…………u, en la que u es el término n-ésimo y cuya razón es r, se puede decir que: Se sabe por definición que cada término es igual al primer término a de la progresión más tantas veces la razón comotérminos le preceden.
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Hallar el 14° término de la progresión ¸ [pic]4. 7. 10…+
Para esta progresión se tiene que. a = 4, n = 14, r = 7 - 4 = 3
Luego entonces:
u = a + (n - 1) r
= 4 + (14 - 1) 3
= 4 + (13) 3
= 4 + 39
= 43
 
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Ahora, a partir de la fórmula general u = a + (n - 1) r, se pueden deducir las fórmulas para hallar el primer término, la razón yel número de términos de una progresión aritmética.
Sea u = a + (n - 1) r despejando cada una de las variables que se necesitan:
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El 15° término de una progresión aritmética es 20 y la razón 4. Hallar el primer término.
Se tiene que:
a = u - (n - 1) r
Donde u = 20
n = 15
r = 4
Luego entonces:
a = u - (n - 1) r
= 20 - (15 - 1) 4
= 20 - (14) 4
= 20 - 56
= - 36[pic][pic]
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[pic]Suma de los términos de una progresión aritmética
En toda progresión aritmética la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos. Sea la progresión [pic] a. b. c. …………r. s. u, que consta de n términos. Ahora si se designa por S la suma de todos los términos de la progresión, se tiene que:
S = a + b + c + …………r + s+ u
Y también: S = u + s + r +………………..+ c + b + a
Y sumando estas igualdades, tenemos:
2S = (a + u) + (b + s) + (c + r) +……………………+ (r + c) + (s + b) + (u + a)
Éstos binomios son iguales a (a + u) porque en toda progresión aritmética la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.
Como hay tantos binomios como términos tiene la progresión, se tendráentoncesque:
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[pic]Interpolación
Es el proceso mediante el cual se hallan medios aritméticos.
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Interpolar tres medios aritméticos entre 3 y 11.
Interpolar medios aritméticos entre dos números dados es desarrollar una progresión aritmética donde los extremos de la progresión sean los números dados.
Entonces Interpolar tres medios aritméticos...