Sucesiones y progresiones

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

CALCULO DIFERENCIAL

TRABAJO COLABORATIVO 1 SUCESIONES Y PROGRESIONES

LUIS FRANCISCO GUTIERREZ MENDOZA NILSON JAVIER BECERRA SANCHEZ GRUPO 100410_194

AGOSTO DE 2010

INTRODUCCION

El estudio de sucesiones, vecindad y progresiones, es un acercamiento al concepto de límites que veremos en la siguiente unidad, por lo cual es indispensable amanera de introducción, asimilar estos conocimientos con el objetivo de entrar a la temática de límites con unos elementos cognitivos mínimos. A continuación desarrollaremos el taller propuesto en la guía con el ánimo de abordar de manera práctica los conceptos de sucesiones y progresiones.

OBJETIVOS



Aproximarnos al concepto de límites y continuidad a través del estudio de sucesiones yprogresiones.



Aplicar los conocimientos adquiridos en la primera unidad mediante la resolución de los ejercicios propuestos.



Interactuar como grupo colaborativo de manera eficiente.

DESARROLLO DEL TRABAJO COLABORATIVO
1. Hallar los 6 primeros términos de las siguientes sucesiones:

a.

Un = (n - 1)n-1 donde n ≥ 2

n1 = (2 – 1)(2 -1) = (1)1 = 1 n2 = (3 – 1)(3-1) = (2)2 =4 n3 = (4 – 1)(4-1) = (3)3 = 27 n4 = (5 – 1)(5-1) = (4)4 = 256 n5 = (6 – 1)(6-1) = (5)5 = 3.125 n6 = (7 – 1)(7-1) = (6)6 = 46.656

b.

Vn = ( )=3 )=3 )=3 )=3 )=3 )=3

) donde n ≥ 1

n1 = ( n2 = ( n3 = ( n4 = ( n5 = ( n6 = (

2. Identificar el término general dados el primer término y la relación de recurrencia:

a. Uo = -1 ; Un = Un-1 – 3 Conociendo el primer término y la relación derecurrencia, obtenemos 3 términos más para analizar la sucesión.

n1 = -1 n2 = -1 – 3 = -4 n3 = -4 – 3 = -7 n4 = -7 – 3 = -10

Observamos que la relación de recurrencia es igual a restar al término anterior el valor de -3, esto es característico de una Progresión Aritmética, y su término general está dado por: an = a1 (n – 1) . d Donde a1 es el primer término, n el término que se desea buscary d la diferencia entre ambos. Entonces aplicando lo anterior tenemos:

an = -1 (n – 1) . -3 = -1 -3n +3 = -3n + 2 Término general Probemos calculando el quinto y sexo término de la sucesión:

n5 = -3(5) + 2 = -15 + 2 = -13 Verifiquémoslo con la relación de recurrencia: Un = Un-1 – 3 n4 = -10 entonces n5 = -10 – 3 = -13 correcto

n6 = -3(6) + 2 = -18 + 2 = -16 Verifiquémoslo con larelación de recurrencia: Un = Un-1 – 3 n5 = -13 entonces n6 = -13 – 3 = -16 correcto

b.

U0 = -1; Un =

Conociendo el primer término y la relación de recurrencia, obtenemos 3 términos más para analizar la sucesión.

n1 = -1 n2 = n3 = n4 = = =

Nos damos cuenta que al multiplicar cualquier término por obtenemos el siguiente. Progresión Geométrica, por: Esto nos indica que es una y su términogeneral está dado

an = a 1 . r es:

n-1,

donde r es la razón, en nuestro caso la razón

Entonces, aplicando lo anterior el término general de la sucesión calculemos el segundo y tercer término: a2 = -1 ( )2-1 = -1 ( )1 = -1 ( ) = a3 = ( )3-1 = ( )2 = ( )= correcto correcto

3. Demostrar que Wn = {

} es estrictamente creciente

Para que sea creciente debe cumplir que Un+1 – Un > 0 == = = lo cual es > 0 para n ≥ 0

Así que la sucesión es creciente.

4. Demostrar que Xn = {

} es estrictamente decreciente.

Para que sea decreciente debe cumplir que Un+1 – Un < 0 = -

= =

–

lo cual tiende a cero para cualquier n 0

5. Hallar la mínima cota superior de la sucesión: Vn = (

) n≥1

Definamos algunos términos de la sucesión para examinar su comportamienton1 = n2 = n3 = n4 =

= 3 = = =

Cómo podemos observar por simple inspección, el máximo valor que puede arrojar la sucesión es 3, esta es su cota superior ya que tiende a decrecer.

6. Determinar si la sucesión Vn = ( la cota superior e inferior.

)

n ≥1

es acotada y hallar

Igual que el ejercicio anterior, debemos definir algunos términos y con un poco de observación y análisis...