Sucesiones y series finitas

5.1 CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE SUCESIONES

En matemáticas la palabra sucesión se utiliza en un sentido casi igual que en el lenguaje ordinario. Cuando nos referimos a una "sucesión de eventos" queremos decir que los eventos ocurrieron en un cierto orden, primero uno, después otro, etc.
Se define como una función cuyo dominio son los enteros positivos.
Los números del contra dominio de unafunción sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden.
Aunque es una función suelen denotarse mediante subíndices; Puesto que podemos listar los enteros 1, 2, 3,... podemos de igual manera listar una sucesión f(1), f(2), f(3), f(4), …

5.2 CONVERGENCIA DE SUCESIONES
Una sucesión es convergente si el límite tiende a un valordeterminado.
Para deducir si la sucesión es convergente o divergente se debe calcularla cuando esta tiende al infinito.
Ejemplo:
Si tenemos la sucesión
Si le damos valores muy grandes a la sucesión, observamos que sus términos se acercan a 3, pero no lo toman.
La sucesión es convergente cuando tiene un límite.

5.3SERIES INFINITAS CONVERGENTES O DIVERGENTES
En matemáticas la expresión, 1 − 2 + 3 −4 + · · · es una serie infinita cuyos términos son los números enteros positivos, que van alternando sus signos. Utilizando notación matemática para sumatorias, la suma de los primeros m términos de la serie se expresa como:
[pic]

5.3.1CRITERIO PARA LA DIVERGENCIA
[pic]

5.3.2CRITERIO DE LA N-ESIMA SUMA PARCIAL
Para una serie infinita, la n-ésima suma parcial viene dada porS(n)=a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n).
Si la sucesión de sumas parciales {S(n)} converge a un número S, diremos que la serie converge. Llamaremos a S suma de la serie, y escribiremos a(1)+a(2)+a(3)+...=S.
Si {S(n)} diverge, diremos que la serie es divergente.

5.3.3SERIES ESPECIALES
5.3.3.1SERIE ARITMÉTICA
La forma general de estas series es: a + (a + d) + (a + 2d) +... + (a + (n - 1)d)
El término d sellama diferencia.
La suma de estas series se pueden calcular sumando el primer término y el último y multiplicando el resultado por la mitad del número de términos de la serie.
Definición: es toda serie en la cual cada termino después del primero se obtiene sumándole al termino anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia
El signo de progresión aritmética es ÷ y entre cada término yel siguiente se escribe un punto.
Así, ÷ 1.3.5.7…..; es una proyección aritmética creciente cuya razón es 2.
÷ 8.4.0.-4… es una proyección aritmética decreciente cuya razón es 4.
En toda serie aritmética la razón se halla restándole a un término cualquiera el termino anterior.

5.3.3.2 SERIE GEOMÉTRICA
Una serie aritmética o progresión aritmética es una sucesión de números racionales en laque cada termino se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo.
Para indicar el término fijo que se va sumando suele usarse la letra d. Se expresan de la forma an que recibe el nombre de término. n es el índice, e indica la posición que ocupa en la sucesión.
Ejemplo:
d = 3
a1 = 5
a2 = a1 + d = 8
a3 = a2 + d = 11
a4 = a3 + d = 14
La forma general de estas series es: a + ar + ar2+ ... + arn – 1
El término r se llama razón.
La suma de estas series se puede calcular multiplicando el último término por la razón, restándole el primero y dividiendo el resultado por la razón menos uno. S = a(1 - rn) / (1 - r)
Si la razón es un numero comprendido entre -1 y 1, y el número de términos es muy grande, como en la fórmula de la suma, la razón está elevado a n, el resultado de laoperación rn es un número que tiende a cero y la fórmula de la suma quedaría S = a / (1- r). 
Definición: es toda serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante que es la razón.
El signo de serie geométrica es [pic] y ente término y término se escribe:
Así, [pic] 5:10:20:40…… serie geométrica en la cual la razón es 2

5.3.3.3 SERIE ARMÓNICA...