Sucesiones y series

INTRODUCCIÓN

El propósito principal de este trabajo es mostrar como se puede usar las series y sucesiones en matemáticas.

Es importante mencionar que las series y las sucesiones se encuentran presentes en nuestra vida diaria, recordemos que las series permiten entender la idea de querer sumar una cantidad infinita de sumandos (tantos sumandos como números naturales); esto significa que sele asigna a cada entero positivo n un numero a una variable, a este numero se le llama n-esimo de la sucesión. A medida que n, la variable tiende a un numero L, por lo que se le llama el limite de la sucesión esto significa que entre mas incremente la sucesión se aproximara con mayor probabilidad a su limite; por ejemplo un automovilista cuando llega al estacionamiento el automóvil entra en unasucesión que es el rodaje de sus llantas y se aproxima alas líneas que dividen cada espacio.

Las series son las sucesiones formadas mediante la suma de más y más términos de una sucesión. Un ejemplo común es el recorrido de un automovilista, cundo recorre varios kilómetros en una pendiente la velocidad va aumentando constantemente, esto es que a medida que aumenta la velocidad el motociclistadesciende mas rápido, por medio de este ejemplo podemos citar la sucesión de suma ala cual se le denomina serie obtenida de la sucesión.

Tradicionalmente se refiere a ella como “la serie cuyo termino n-esimo es una variable infinita”.

Si la sucesión de sumas parciales de una serie converge a L, se le conoce como la suma de las series y se le denomina convergente. Recordemos que no se suma unnúmero infinito de términos, si no que se toma el límite de sumas finitas, a una serie que no es convergente se le conoce también como divergente.

Las series monótonas se basan en la propiedad de los números reales. Si una sucesión es creciente o decreciente se le denomina monótona esto quiere decir que el numero constante recibe el nombre de cota inferior, si la cota es menor o igual ala sucesiónpara todo entero positivo; el numero asignado como D se llama cota superior de la sucesión y si es menor o igual a D para todo entero positivo.

Tradicionalmente se dice que una sucesión es acotada si y solo si presenta una cota superior y una acota inferior; esto quiere decir que una sucesión también es decreciente, por lo tanto es una sucesión monótona acotada, por ejemplo cuando se lanza unobjeto de un edificio se presenta una sucesión monótona acotada ya que el objeto presenta un mínimo y gráficamente decrece constantemente.

También se vera que el uso principal de una serie de potencias se debe a que proporcionan un medio de representar algunas de las funciones mas importantes que surgen en matemáticas, física y química.

Y también se aprenderá a representar ciertos tipos defunciones como suma de series de potencias analizando las series geométricas, diferenciales e integrando series.

Dentro de este trabajo también analizaremos la serie de taylon que fue elaborada por el ingles Brook Taylon y la serie de Mclaurin en honor al matemático escoses Colin Maclaurin.

DEFINICIÓN DE SUCESIÓN

En matemáticas, la palabra “sucesión”, se usa en un sentido muy parecidoal del lenguaje usual. Decir que una colección de objetos o de sucesos esta en sucesión significa que están ordenados de modo que alguno de ellos se identifica como el primero, otro como el segundo, etc.

Matemáticamente, una sucesión se define como una función cuyo dominio lo constituyen los números enteros positivos. Aunque una sucesión es una función, sueledenotarse las sucesiones mediante una notación de subíndices en lugar de con la notación habitual de las funciones.

1, 2, 3, 4,…, n,…
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ sucesión
a1, a2, a3, a4,…an,…

Al 1 le corresponde a1, al 2 le corresponde a2, y así sucesivamente. Los...