Sucesiones y series.

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada.
Excelencia Educativa Abierta al Pueblo.
Unefa-San Tome

Introducción.
Sucesión es una secuencia ordenada de números u otras cantidades, y serie es la suma de todos los términos de dicha secuencia. Así mismo en este trabajo se encuentran laspropiedades de las sucesiones tales como la asociativa, conmutativa, distributiva y elemento neutro, como también algunos criterios importantes en esta área. Entre los tipos más importantes de series tenemos serie geometrica y la serie armonica. Donde la serie geometrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, y la serie armonica Se llama asíporque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .
La teoría y el uso de las series infinitas son importantes en prácticamente todas las ramas de las matemáticas tanto, puras comoaplicadas.

Sucesiones
Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.
a1, a2, a3,..., an
3, 6, 9,..., 3n
Los números a1, a2, a3,...; se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.
Sucesiones infinita,definición y propiedades.
Una sucesión infinita es aquella sucesión que sigue para siempre.
Ejemplo:
1, 2, 3, 4,...} Es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35,...} También es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} Es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} Va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32,...} Es unasucesión infinita donde vamos doblando cada término.
Propiedades.
* Asociativa:
(An · bn) · c n = an · (bn · c n)
* Conmutativa:
An · bn = bn · a n
* Elemento neutro
(1) = (1, 1, 1, ..)
An · 1 = an

* Distributiva respecto a la suma
An · (bn + c n) = an · bn + an · c n
Series
Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie contérminos an como  donde n es el índice final de la serie.

Series infinita.
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .
Criterios de convergencia
Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de qué tipoes (convergente o divergente).
Condición del resto
Para que una serie sea divergente, una condición suficiente es que.
Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.
Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente
Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos).
Si existe

Con, el Criterio de D'Alembert estableceque:
* si L < 1, la serie converge.
* si L > 1, entonces la serie diverge.
* si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.
Criterio de Cauchy
Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
, siendo
Entonces, si:
* L < 1,la serie es convergente.
* L > 1 entonces la serie es divergente.
* L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.
Criterio de Raabe
En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la...