Sucesiones

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SUCESIONES
Una sucesi´ n infinita es una funci´ n cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos y o o cuyo rango es un subconjunto de los n´ meros reales. u Si f es una sucesi´ n infinita, entonces a cada entero positivo n le coorresponde un n´ mero real f (n). Estos o u n´ meros es el rango de f , generalmente se enumeran escribiendo u f (1), f (2), f (3), · · · , f (n),· · · Al n´ mero f (1) se le llama primer t´ rmino de la sucesi´ n, f (2) es el segundo t´ rmino de la sucesi´ n y, en u e o e o general f (n) es el en´ simo t´ rmino de la sucesi´ n. e e o Se acostumbra a no usar la notaci´ n usual de funci´ n f (n) y se sustituye por la escritura o o a1 , a2 , a3 , · · · , an , · · · de modo que f (1) = a1 , f (2) = a2 , · · · , f (n) = an , · · ·. Igualdad dedos Sucesiones Una sucesi´ n a1 , a2 , · · · , an , · · · es igual a a una sucesi´ n b1 , b2 , · · · , bn , · · · o o si y s´ lo si ak = bk , para todo entero positivo k. o A menudo se definen las sucesiones infinitas enunciando la f´ rmula del en´ simo t´ rmino. As´ la sucesi´ n o e e ı o conocida de los n´ meros positivos impares u 1, 3, 5, 7, . . . cuyo t´ rmino en´ simo es f (n) = 2n − 1; setiene a1 = 1, a2 = 3, a20 = 39 y a47 = 93, etc. e e Ejemplo 1 Hallar los primeros cuatro t´ rminos y el d´ cimo de la sucesi´ n an = 2n2 − 4. e e o Definici´ n o Definici´ n o

Soluci´ n: Tenemos o a1 a2 a3 a4 = = = = 2(1)2 − 4 = −2 2(2)2 − 4 = 4 2(3)2 − 4 = 14 2(4)2 − 4 = 28

el d´ cimo t´ rmino ser´a: a10 = 2(10)2 − 4 = 196. e e ı Nota 1

Si se conocen unos cuantos t´ rminos de una sucesi´ ninfinita, no queda determinada la f´ rmula e o o 4 3 2 que origina dichos n´ meros. Por ejemplo, si an = n − 10n + 35n − 48n + 23, provoca los n´ meros u u 1, 3, 5, 7 en los primeros cuatro t´ rminos como en la sucesi´ n de los n´ meros positivos impares. Sin embare o u go, a5 = 33 y no como a5 = 9, como supondriamos. Nota 2

No siempre hay una f´ rmula an que provoquen una sucesi´ n expl´cita de n´meros, como es el o o ı u reconocido caso de los n´ meros primos. u

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Profesor Waldo M´ rquez Gonz´ lez a a

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Sucesi´ n Recurrente Algunas secuencias infinitas se describen enunciando el primer t´ rmino o e a1 junto con una regla que muestra como obtener cualquier t´ rmino ak+1 a partir del t´ rmino anterior ak , e e siempre que k ≥ 1. A una descripci´ nde este tipo se le llama definici´ n recursiva o recurrente y se dice o o que la sucesi´ n est´ definida recursivamente. o a

Definici´ n o

Ejemplo 2 como,

Hallar los cuatro primeros t´ rminos y el en´ simo t´ rmino de la sucesi´ n infinita que se define e e e o

a1 = 3; ak+1 = 2ak con k ≥ 1 Soluci´ n: Aqu´ o ı a1 a2 a3 a4 = = = = 3 2 · a1 = 2 · 3 = 6 2 · a2 = 2 · 6 = 12 2 · a3 = 2 · 12 = 24para encontrar el d´ cimo t´ rmino, buscamos el patr´ n que generan esos n´ meros: an = 2n−1 · 3 e e o u As´, a10 = 210−1 · 3 = 29 · 3 = 1536. ı

´ NOTACI ON DE SUMATORIA
A menudo se requiere encontrar la suma de muchos t´ rminos de una sucesi´ n infinita y para esto, se utiliza e o la letra griega may´ scula Σ (sigma) para indicarla. u Dada la sucesi´ n a1 , a2 , a3 , · · · , an , · · · els´mbolo o ı
m k=1

ak , representa la suma de los primeros m t´ rminos. e

Ley´ ndose as´; la suma de los primeros t´ rminos a1 hasta el t´ rmino am . e ı e e A la letra k se le llama ´ndice de sumatoria, o variable de sumatoria y los valores 1 hasta el m indican los ı valores extremos de la citada variable de sumatoria. Ejemplo 3 Evaluar
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k 2 (k − 3)
k=1

Soluci´ n: o Para determinarla suma pedida, sustituimos sucesivamente la letra k por 1, 2, 3 y 4 y sumamos los t´ rminos e resultantes. As´, ı
4

= k 2 (k − 3) = 12 (1 − 3) + 22 (2 − 3) + 32 (3 − 3) + 42 (4 − 3) = 10
k=1

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La letra que designa la variable de sumatoria es arbitraria. Podemos perfectamente usar i, j, k, etc.como ´ndice de la sumatoria. Esto es, ı
p

Nota 3

aj = a1 + a2 + · ·...