Sucesiones

SUCESIONES Y SERIES
José Darío Sánchez Hernández
danojuanos@hotmail.com

§1. SUCESIONES DE NUMEROS REALES.
1.1. Introducción.
Los números naturales son algo que actualmente está en el medio ambiente, quizás por esto llegó el matemático alemán Leopoldo Kronecker a decir: “El buen Dios dió al hombre los números naturales; el resto ha sido obra suya " . Se consideran los números naturales comola estructura básica de la Matemática y siguiendo al matemático italiano Giuseppe Peano, los únicos términos técnicos que intervienen son los de número natural, primer natural (cero para nosotros y uno para otros, según los gustos) y “ el siguiente de ", o, “ el sucesor de ", con los siguientes axiomas: N . Cero es un número natural N . El siguiente de todo número natural también es númeronatural N . Si es una colección de números naturales tal que cumple: 0 esta en Cada vez que un natural está en , también el siguiente de él está en . Entonces S es el conjunto de todos los naturales. N Si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces los números son iguales. N Cero nunca es sucesor de un natural. Sucesor de un conjunto significa, a otro conjunto con un elemento más; unamanera de formar a partir de un conjunto dado otro con un elemento más, es agregar el mismo como elemento, a esté le llamaremos “el sucesor de " y se le nota . Así 0

Darío Sánchez

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Notaremos con

al conjunto de todos los números naturales.

1.2. Definición de sucesión.
Sea ( un subconjunto de números reales y . Al conjunto una función, es decir, sele llama una

sucesión en De la teoría de conjuntos se sabe que cuando significa que “ " , en este caso se denota . En esta forma al conjunto que usualmente se le llama una sucesión y a se le conoce como el término de la sucesión.

es al -ésimo
0

Ejemplo. Así los conjuntos
, representados por y Cuando y

y

son sucesiones en .
0

A es una sucesión entonces

es llamada unasucesión de números reales o simplemente una sucesión real .

1.3 . Sucesiones Monótonas.
Sea 0 una sucesión real, se dice que cuando la siguiente proposición es verdadera
0

es una sucesión creciente

Ejemplo. Los conjuntos
Análogamente sea si
0

1

1

son sucesiones crecientes.
0

una sucesión real , se dice que

es decreciente

Ejemplo. Los conjuntos
Se dice que una sucesióndecreciente. Una sucesión tal que
0 0

son sucesiones decrecientes. es una sucesión monótona si es creciente o

se dice acotada superiormente si existe una constante

Se dice que la sucesión tal que

0

es acotada inferiormente si existe una constante

Darío Sánchez

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Se dice que una sucesión es decir que existe una constante

0

es acotada,si es acotada superior e inferiormente, tal que para todo

1.4. Límite de una sucesión.
Si los términos de una sucesión 0 se acercan a un número sucesión tiende al límite ( o que converge a ) y se nota: lim ó, , se dice que la

Más precisamente la sucesión , si dado un número cualquiera 0 converge a , es posible la determinación de un número natural tal que si Esto es, a partir de un -ésimotérmino todos los elementos de la sucesión están en un entorno de con radio .

Una sucesión que tiene un límite se le llama contrario la sucesión de dice divergente Formalmente tenemos la siguiente definición:

sucesión convergente, en caso

Definición. Una sucesión
“ dado existe

se dice convergente hacia tal que si entonces

si ”.

Ejemplos.
1. La sucesión naturalmente es convergentey su límite es Para mostrar esto demos y tratemos de hallar tal que Ahora Por lo tanto como los números naturales no son acotados en podemos tomar un número natural tal que así la proposición ( )( es verdadera, luego 2. Para la lim 1 , dado Esto significa que
0

sucesión

existe lim

tal

que

si

Consideremos la sucesión 0 tiene límite. Supongamos por contradicción que lim cada...