sucesiones

SUCESIONES Y SERIESn
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TEMA 12

SUCESIONES Y SERIES

12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.
En muchos problemas cotidianos se presentan sucesiones, como por ejemplo los días del mes, ya que
se trata del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ...., 29, 30}; o bien cuando por alguna razón se tiene solamente al
conjunto de los números pares {2, 4,6, 8, 10, ... } ; o quizás los nones {1, 3, 5, 7, 9, ... } , etc.
De cualquier forma, existe siempre una regla bajo la cual se forma el siguiente elemento de la sucesión
a partir del primero. En el caso del conjunto de los pares y también de los nones, la regla es sumar 2 al
último número formado. La primera parte del estudio de las sucesiones consistirá en descubrir por simple
intuición cuáles dicha regla.
Ejemplo 1: Investigar la regla de formación de la siguiente sucesión:
7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Solución:

Puede verse fácilmente que cada número se forma sumando 3 al que le precede, por lo que esa es la
regla.

Ejemplo 2: Investigar la regla de formación de la siguiente sucesión:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
Solución:

En este ejemplo la sucesión está formada porlos cuadrados de cada número natural.

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SUCESIONES Y SERIES

Ejemplo 3: Investigar la regla de formación de la siguiente sucesión:
1
2

8, 4, 2, 1,
Solución:

,

1
4

,

1
8

, ...

Aquí cada número corresponde a la mitad del que le antecede. Esa es la regla.

Ejemplo 4: Investigar la regla de formación de la siguiente sucesión:
1
4

Solución:

,

29

,

3
16

,

4
25

,

5
36

, ...

En este caso cada numerador corresponde a la sucesión de los números naturales mientras que los
denominadores son los cuadrados de 2, 3, 4, 5, 6, etc.

12.2 ELEMENTO GENERAL DE LA SUCESIÓN

El siguiente paso en el estudio de las sucesiones es encontrar una manera de escribir matemáticamente
la regla de formación de una sucesióndeterminada, una vez que por intuición, como se hizo en el tema
anterior, se descubrió ésta. A dicha fórmula se le llama elemento general de la sucesión , ya que a partir
de él se pueden formar uno por uno todos los demás elementos.
El elemento general de la sucesión debe ser una función de n , en donde n solamente puede tomar valores enteros positivos, de tal manera que cuando se le dé el valor de n =1 , al sustituir en la fórmula se
obtenga el primer elemento; que cuando n = 2 , al sustituir en la fórmula se obtenga el segundo elemento;
que cuando n = 3 , al sustituir en la fórmula se obtenga el tercer elemento; y así sucesivamente.

Para obtener el elemento general cuando la regla de formación de la sucesión es sumar una
cantidad fija, basta seguir estos dos pasos:
a) Poner comocoeficiente de n a esa cantidad que se suma;
b) agregar un segundo término independiente de n, llamado desplazamiento, que es la
cantidad que hace falta sumar al primer término de la fórmula para que cuando n = 1
se obtenga el primer elemento.

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Ejemplo 1: Deducir la fórmula del elemento general de la siguiente sucesión:
5, 7, 9, 11, 13, 15, ...
Solución:Se trata de los número nones a partir del 5, lo que significa que la regla de formación de esta sucesión
es sumar 2. Por lo tanto, el primer término de la fórmula es 2n .
Para encontrar el segundo término de la fórmula buscada, o sea el desplazamiento, basta hacer n = 1
en 2n, lo que da 2(1) = 2 y comparar con el primer elemento de la sucesión dada que es el 5 . La
conclusión es que hay quesumar 3 al resultado obtenido en 2(1) para llegar al 5 (primer elemento),
el cual es el desplazamiento. Por lo tanto, el elemento general es

a n = 2n + 3
COMPROBACIÓN:

para

se obtiene

que es el

n=1

a1 = 2(1) + 3 = 5

primer elemento

n=2

a2 = 2(2) + 3 = 7

segundo elemento

n=3

a3 = 2(3) + 3 = 9

tercer elemento

n=4

a4 = 2(4) + 3 = 11

cuarto elemento...