Sucesiones

INTRODUCCION
Tras definir los números reales, se investigan las sucesiones de números reales y su convergencia, un concepto central en análisis, a través de los límites de sucesiones o puntos de acumulación de conjuntos. Posteriormente se estudian las series, como las series alternadas y las series de potencias.

Se estudia, para empezar a desarrollar conceptos topológicos elementales, variostipos de subconjuntos de los números reales: conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, espacios compactos, conjuntos conexos, etc. Donde se estudian el teorema de Bolzano-Weierstrass y el de Heine-Borel.

Sucesiones
Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe an en lugar de f(n).
Ejemplo:an = 1/n
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...
Definición Sucesión monótona creciente
Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para todo n natural an <= an+1 (a1 <= a2 <= a3 <= ... <= an).
Ejemplo:
an = n es monótona creciente.
a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, ...
Definición Sucesión monótona decreciente
Una sucesión es monótona decreciente si se cumple quepara todo n natural an >= an+1 (a1 >= a2 >= a3 >= ... >= an).
Ejemplo:
an = 1/n es monótona decreciente.
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite,se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
Límite finito de una sucesión

Consideremos la sucesión an = 1/n.

a1 = 1
a2 = 1/2 = 0.5
a3 = 1/3 ≈ 0.33
a4 = 1/4 = 0.25
a5 = 1/5 = 0.2
a6 = 1/6 ≈ 0.17
a7 = 1/7 ≈ 0.14
a8 = 1/8 ≈ 0.12
a9 = 1/9 ≈ 0.11
a10 = 1/10 = 0.1

A medida que aumenta n, lostérminos de la sucesión son cada vez más cercanos a 0. Si representamos los términos como puntos en una línea, esto significa que los puntos an se apiñan cada vez más cerca del punto 0 conforme n crece.
Sucesión con límite 0

Se dice que an tiende a 0, o que tiene límite 0.
Se expresa simbólicamente por: lim an = 0 o bien, ocasionalmente, por la notación abreviada an -> 0.
Definición
Límitefinito

lim an = a <=> para todo ε>0 existe N natural / para todo n > N a - ε < an < a + ε, o lo que es lo mismo, |an - a| < ε.

Para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un natural N suficientemente grande tal que a partir del índice N en adelante se tiene que |an - a| < ε.
Es decir, si tomamos un entorno de a de cualquier radio siemprehabrá un subíndice N tal que desde N en adelante todos los términos de la sucesión pertenecen a dicho entorno.
Límite infinito de una sucesión

Consideremos la sucesión an = n2.

a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16
a10 = 100
a100 = 10.000
Al crecer n, an no tiende a un límite definido, sino que crece más allá de toda cota. Se dice que an tiende a infinito.
Definición
Límite infinito
lim an =+inf <=> para todo K>0 existe N natural / para todo n > N an > K.
Para cualquier número positivo K (tan grande como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que aN y todos los términos siguientes son mayores que K. Esto quiere decir que an puede hacerse mayor que cualquier cota, con tal de que n sea lo suficientemente grande.

Del mismo modo se define lim an = -inf<=> para todo K<0 existe N natural / para todo n > N an < K.
Definición
Convergencia y divergencia
Cuando una sucesión tiene límite finito a se dice que es convergente y converge a a.
Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.
Una sucesión que carece de límite se llama oscilante.

La sucesión an = 1/n converge a 0.
La sucesión an = n2 es divergente.
La...