Sucesiones

Sucesión
En matemáticas, una sucesión es una lista ordenada de objetos, cada uno de ellos denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición.De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.
Ejemplo
La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de númerospositivos pares: 2, 4, 6, 8, ...En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto
Ejemplos
Existen diferentes notaciones y nociones de sucesión en matemáticas, dependiendo del área de estudio, algunas de las cuales (como por ejemplosucesión exacta) no quedan comprendidas en la notación que se introduce a continuación.
Se puede usar la notación para indicar una sucesión, en donde hace referencia al elemento de la sucesión en la posición n.
Retomando el ejemplo de los números positivos pares, si denotamos dicha sucesión por


En el caso de que los elementos de la sucesión queden determinados por una regla, sepuede especificar la sucesión haciendo referencia a la fórmula de un término arbitrario. Ejemplo. La sucesión anterior puede especificarse mediante la fórmula
No es infrecuente encontrar sucesiones en donde los subíndices denotando posiciones inician desde cero, en vez desde uno, particularmente en matemática discreta o en ciencias de la computación. También se puede usar una variable distintaa n para denotar el término general, cuando así convenga para evitar confusión con otras variables.
En la literatura es posible encontrar una gran variedad de notaciones alternativas. Por ejemplo, uso de llaves en vez de paréntesis, o indicaciones de los límites mediante variantes de super y subíndices, a continuación se muestra un ejemplo:

Definicion normal
Una sucesión finita (de longitudm) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

y en este caso el elemento corresponde a
Por ejemplo, la sucesión finita (de longitud 4) de números primos menores que 10:

Corresponde a la función (donde es el conjunto de números primos) definida por:

Una sucesión infinita con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

En donde,de forma análoga, corresponde a .
Notación
Notaremos por a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos.
La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.
Definición de término general
Llamaremos término general de una sucesión a , donde el subíndice indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.
Definición de término parcial
Llamaremosparcial de a una sucesión donde

SUCESIONES MONOTONAS

Toda sucesión acotada y monótona es convergente
Demostración
Supongamos que a_{n} es una sucesión creciente. Dado que es una sucesión acotada. el conjunto S= tiene una cota superior. Por el axioma de completez tiene una mínima cota superior L. Dado que ɛ> 0, L -ɛ no es una cota superior de S (pues L es la mínima cotasuperior).
Definición
(an) es monótona creciente⇔ an≤ an+1∀n∈ N
(an) es monótona decreciente⇔ an≥ an+1∀n∈ N

Una sucesión es monótona si es monótona creciente o monótona decreciente.

Monótona Creciente
Se dice que una sucesión es monótona creciente si se cumple:

Es decir, que si el término siguiente de la sucesión es mayor al término actual .
Ejemplo

Monótona Decreciente
Se...