sucesiones

Suma de términos consecutivos de una progresión aritmética

Se denotará por Sn a la suma a1 + a2 + ... + an

Se tiene entonces:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an - 2+ an - 1 + an

Invirtiendo el orden,

Sn = an + an - 1 + an - 2 + ... + a3 + a2 + a1

y sumando,

2Sn = (a1 + a2) + (a2 + an - 1) + ... + (an -1 + a2) + (an + a1)

Ahora bien, por la propiedad de los términos equidistantes se sabe que:

a1 + an = a2 + an - 1 = a3 + an - 2 = ... = an + a1

Por tanto, 2 · Sn =n(a1 + an), y despejando:



Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de una progresión aritmética sino para sumar cualesquiera ntérminos consecutivos.

Para sumar, por ejemplo, a5 + a6 ... + a83, es necesario constatar que hay
(83 - 4 = 79) 79 términos (faltan los cuatro primeros).

La suma es:Es muy conocida la anécdota según la cual a Carl Frederich Gauss (1777-1855), cuando contaba con diez años de edad, le propusieron en la escuela primaria de su aldeanatal que sumara los 100 primeros números naturales. Ante el asombro del profesor, apenas éste había acabado de dictar el problema, Gauss dio la solución: 5 050.

Lo que este insigne matemáticoobservó fue que la suma 1 + 100 era igual a
2 + 99, igual a 3 + 98, ... etc. es decir, sólo tuvo que darse cuenta de que contaba con 50 parejas de números, cada una de las cuales sumaba 101. Así, se limitóa multiplicar: 50 · 101 = 5 050.


Ejercicio:
 Sumar los veinte primeros términos de la progresión:

-5, 4, 13, 22, 31, 40

Resolución:



· La diferencia es d = 9

· a20 = -5+ (20 - 1) · 9

a20 = -5 + 19·9 = 166




‚ Dada la progresión aritmética 8, 3, -2, -7, -12, ..., sumar los términos comprendidos entre a24 y a36.

Resolución:

· La diferencia...