sucesiones

Sucesiones
Definición. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe an en lugar de f(n).
Ejemplo: an = 1/n
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...
Definición
Sucesión monótona creciente
Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para todo n natural an = an).
Ejemplo:
an =1/n es monótona decreciente.
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...
Límite finito de una sucesión
Consideremos la sucesión an = 1/n.
a1 = 1
a2 = 1/2 = 0.5
a3 = 1/3 ≈ 0.33
a4 = 1/4 = 0.25
a5 = 1/5 = 0.2
a6 = 1/6 ≈ 0.17
a7 = 1/7 ≈ 0.14
a8 = 1/8 ≈ 0.12
a9 = 1/9 ≈ 0.11
a10 = 1/10 = 0.1
A medida que aumenta n, los términos de la sucesión son cada vez más cercanos a 0. Si representamoslos términos como puntos en una línea, esto significa que los puntos an se apiñan cada vez más cerca del punto 0 conforme n crece.
Sucesión con límite 0
Se dice que an tiende a 0, o que tiene límite 0.
Se expresa simbólicamente por: lim an = 0 o bien, ocasionalmente, por la notación abreviada an -> 0.
Definición
Límite finito
lim an = a para todo ε>0 existe N natural / para todo n > N a -ε < an < a + ε, o lo que es lo mismo, |an - a| < ε.
Para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un natural N suficientemente grande tal que a partir del índice N en adelante se tiene que |an - a| < ε.
Es decir, si tomamos un entorno de a de cualquier radio siempre habrá un subíndice N tal que desde N en adelante todos los términos de la sucesión pertenecen a dichoentorno.
Límite infinito de una sucesión
Consideremos la sucesión an = n2.
a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16
...
a10 = 100
..
a100 = 10.000
Al crecer n, an no tiende a un límite definido, sino que crece más allá de toda cota. Se dice que an tiende a infinito.
Definición
Límite infinito
lim an = +inf para todo K>0 existe N natural / para todo n > N an > K.
Para cualquier número positivo K(tan grande como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que aN y todos los términos siguientes son mayores que K. Esto quiere decir que an puede hacerse mayor que cualquier cota, con tal de que n sea lo suficientemente grande.
Del mismo modo se define lim an = -inf para todo K N an < K.
Definicion
Convergencia y divergencia
Cuando una sucesión tiene límite finito a se dice que esconvergente y converge a a.
Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.
Una sucesión que carece de límite se llama oscilante.
La sucesión an = 1/n converge a 0.
La sucesión an = n2 es divergente.
La sucesión an = sen n es oscilante, pues sus valores varían entre 1 y -1.
Propiedades del límite finito de sucesiones
Unicidad del límite
Si una sucesión tiene límite es único.H) lim an = b
Operaciones con límites
El límite de la suma, producto y cociente de sucesiones se determina por las mismas reglas que para las funciones de variable continua. Las demostraciones son iguales, basta sustituir f(x) por an y considerar que la tendencia siempre es hacia +infinito. Aquí sólo demostraremos el límite de una suma. Para ver las demás reglas visitar la página sobreoperaciones con límites.
Límite de la suma
Si dos sucesiones tienen límite finito, entonces su suma tiene límite finito y es igual a la suma de esos límites.
H) lim an = a, lim bn = b
T) lim an + bn = a + b
Definición
Sucesiones equivalentes
Dos sucesiones se dicen equivalentes cuando el límite de su cociente es 1.
Definición
Sucesión acotada
M es cota superior de la sucesión an si an < M paratodo n.
m es cota inferior de la sucesión an si an > m para todo n.
Una sucesión es acotada si tiene tanto cota superior como inferior.
Teorema
Toda sucesión monótona y acotada converge.
H) an monótona
Existen m y M / m < an < M para todo n.
T) lim an = b
Demostración:
Queremos probar que existe N / para todo n > N |an - b| < ε.
Supongamos que an es creciente (si suponemos que es...