sucesiones

Sucesión matemática
Una sucesión matemática es una aplicación definida sobre los números naturales. Es costumbre representarla con las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que sirven para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente n (por natural) en vez de x, habitual para las variables reales.
Por convención, se escribe un (en vez de u(n)), la imagen den por la sucesión u, o sea el término número n+1 de la sucesión u (el primer término es habitualmente u0).


una sucesión se define como una aplicación definida sobre los números naturales (1,2,3,...). Dicho así, la definición enciclopédica puede resultar un poco confusa. Dicho con palabras llanas, una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados que se suceden siguiendo alguna lógica.Si alguien ha hecho en su vida algún test de inteligencia, está relacionado con los típicos juegos de adivinar el siguiente número.

Un ejemplo de sucesión sería este

X1 = 1
X2 = 3
X3 = 5
.....
siendo el término n-ésimo:
Xn = 2·n - 1

Esta sucesión representa a los números impares. A simple vista se puede ver que desde el punto de vista de la notación, la sucesión presenta una enormeventaja. Permite expresar infinitos números en una expresión muy corta. En el caso del ejemplo anterior:

f(n) = 2·n - 1

Si sustituimos el término n por cualquier valor natural obtenemos automáticamente el término correspondiente de la sucesión. Como sucede con otras herramientas, como las matrices, la sucesión permite abreviar notablemente las expresiones y ahorrar en cálculos.

Lasaplicaciones de las sucesiones son incontables. Se utilizan abundantemente para demostrar los teoremas y las propiedades de la topología matemática, y en la muy conocida demostración del número pi, pero dado que esta parte del cálculo es la más inocua, son mucho más destacadas sus aplicaciones en materia de cálculo numérico.
Definición explícita
La definición es explícita cuando se da una fórmula quepermite hallar un mediante un cálculo único donde no interviene otra variable que n. En otras palabras, un es una función de n: un = f(n).
Es el caso representado por el primer gráfico, donde la función es polinomial. Los términos de la sucesión son las ordenadas de los puntos rojos, cuyas abscisas son los enteros naturales.
Cuando la función f es definida también en los reales (como en lafigura), el estudio de f (límite en + ∞ variaciones, extremos) permite conocer perfectamente u:
Si f tiende hacia l (en + ∞) entonces también lo hace u. La recíproca es errónea, como lo muestra la función f(x) = sin(2π·x), que no tiene límite mientras que un = f(n) es siempre nulo y u tiende por lo tanto hacia cero.
Si f es creciente en un intervalo [a; b] entonces u lo es para los valores enterospositivos del intervalo (o sea sobre [a; b] ∩ ).
Para los extremos, la cosa se complica: si los extremos de f no corresponden a valores enteros de x, entonces se tiene que considerar los naturales más próximos y comparar los un correspondientes. En la figura, f tiene un mínimo relativo en el intervalo ]2; 3[, y como u2 < u3, u2 es un mínimo relativo de u. El máximo relativo de f en ]6; 7[ da dosmáximos relativos de u porque u6 = u7.
Sin embargo, existen métodos para estudiar u sin estudiar f: el sentido de variación se puede determinar con el signo de un+1 - un (si es positivo, u crece), o comparando la fracción un+1/un con 1 (apropiado cuando u es de signo constante, a ser posible positivo). Estos cálculos pueden ser más sencillos cuando f tiene una función derivada complicada.
Enalgunos casos, la función f que aparece en un = f(n) no puede extenderse a . Es el caso si definimos un como el número de factores propios de n por ejemplo, u otras funciones aritméticas, como la función fi de Euler o la Función de Möbius µ . El estudio clásico de las funciones, mediante la derivación, es entonces imposible.
Definición implícita
La definición es implícita cuando un no sólo...