Sucesiones

SUCESIONES

Una sucesión matemática es una aplicación definida sobre los números naturales. Es costumbre emplear las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que sirven para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente n (por natural) en vez de x, habitual para las variables reales.


LIMITE DE LA SUCESIÓN

En el estudio de sucesionesbásicamente se presentan dos cuestiones vitales que son:


a) Determinar si la sucesión tiene un límite


b) Si la sucesión tiene un límite, cual es su valor. Para esto definimos que:


Una sucesión {an} tiene un límite Limx((an = L, si para cualquier ε > 0 existe un número N > 0 tal que si n es un número entero y si n > N entonces | a1- L| < ε.





TEOREMA:

Si Limx((fx = L está definida para todo número entero positivo, entonces también se cumplirá que Limn((fn = L, cuando n se restringe a los números enteros positivos.




[pic]

Se remplaza la letra n = x

[pic]


Se aplica el límite.



[pic][pic] [pic] =[pic]= 0






SUCESIONES, CONVERGENCIA y DIVERGENCIA

DEFINICIÓN:

Si una sucesión {an} tiene un límite, se dice quees convergente; y an converge a tal límite y si la sucesión no es convergente se dice que es divergente.

Convergente:


[pic]

Se saca factor común 2n

[pic] = [pic]

Se aplica límite remplazando n por x

[pic] [pic] = [pic] = 0

CONVERGENTE EN “0”


Divergente:

[pic]

Se saca factor común n para simplificar con la n del numerador

[pic]

Se aplica límiteremplazando n por x


[pic] [pic] = [pic] = [pic]


DIVERGENTE.


SUCESIONES, CRECIENTES Y DECRECIENTES

Para todo valor de n una sucesión es:


a) CRECIENTE: Cuando an ≤ an+1


b) DECRECIENTE: Cuando an ≥ an+1


Creciente:

[pic]

Se quiere saber si [pic] [pic] [pic]

Se procede a remplazar la n por (n + 1)

[pic]= [pic] [pic] [pic] = [pic]=[pic]

Se verifica si es [pic] [pic] [pic]

Si n=1 [pic]

CRECIENTE

Decreciente:

[pic]

Se quiere saber si [pic] [pic] [pic] si no es así la sucesión es decreciente

Se procede a remplazar la n por (n + 1)

[pic]= [pic] [pic] [pic] = [pic] =[pic]

Se verifica si es [pic] [pic] [pic]

Si n=1 [pic]

DECRECIENTEResolución de la sucesión de Fibonacci mediante los métodos matemáticos de la mecánica cuántica



[pic]

Resumen:


Si bien los temas: sucesión de Fibonacci y número de oro, fueron desarrollados ya en clase, aquí se hace un uso general, y se puede apreciar una aplicación amplia de sucesiones, manteniendo una cierta relación ambos temas

En elpresente artículo damos una resolución alternativa a la sucesión de Fibonacci utilizando los métodos operacionales que se utilizan, entre otras partes de la física, en la mecánica cuántica. La solución que se presenta es mucho más sencilla conceptual y mecánicamente que la más habitual, basada en explotar la relación de recurrencia que define la sucesión de Fibonacci.
Para acabar, utilizaremosla solución encontrada para demostrar explícitamente algunas de las propiedades más conocidas de la sucesión de Fibonacci, en especial su relación existente con la razón áurea.
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1 Introducción

Una sucesión es una aplicación entre el conjunto de los números naturales, [pic][pic], y los números reales [pic]. Dicho de otra forma, una sucesión es una colección ordenada de números reales,[pic]con [pic].
La forma más simple de caracterizar una sucesión de números es enumerar uno a uno todos sus elementos, por ejemplo en forma de tabla, sin embargo este procedimiento es inviable ya que nos haría falta especificar enteramente infinitos números. Las formas más usuales consisten en proporcionar una regla que nos permita calcular cada nuevo término.
El método más completo consiste en dar...