sucesiones

Sucesiones

Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra en un cierto orden.

Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita.

Tipos de sucesiones

Sucesiones aritméticas
Una sucesión es una funcióncuyo dominio es el conjunto de los números naturales, {1, 2, 3,4,...}, Una sucesión aritmética es aquella en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para el termino general de una sucesión aritmética es an+b, en donde a y b son constantes, y n es el número del termino deseado .Específicamente, la constante a es la diferencia entre un término y el anteriorEjemplos
El primer término de una progresión aritmética es -1, y el decimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.
a 1 = − 1;          a 15 = 27;      
a n = a 1 + (n - 1) · d
27= -1 + (15-1) d;       28 = 14d;         d = 2
S= (-1 + 27) 15/2 = 195

Sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior porun número fijo.
Definición: (Sucesión Geométrica)
Una sucesión geométrica es aquélla en la cual el cociente entre dos términos consecutivos es una constante llamada razón r y puede ser positiva o negativa.


Ejemplo

Sea la sucesión 5, 15, 45, 135, 405, 1215,... es geométrica porque cada término es multiplicado por la misma contante, que es 3.
Sea la sucesión 3, 9, 27, 81, 243, 729,... esgeométrica porque cada término es multiplicado por la misma contante, que es 3.
Sea la sucesión -2, 4, -8, 16, -32, 64,... es geométrica porque cada término es multiplicado por la misma contante, que es -2.

Cuando hablamos de sucesiones es importante definir la notación utilizada.

Notación: (Sucesión Geométrica)
Comúnmente se denominan los términos de una sucesión de la siguiente manera:a(1) = primer término de la sucesión    
a(2) = segundo término de la sucesión 
⋮ 
a(n) = n-ésimo término de la sucesión  
r = razón común
El n-ésimo término de una sucesión geométrica es la regla que determina como se calculan los términos de la misma.
El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la sucesión
a2= 6;                 a5= 48;       
 an = ak ·r n-k
48 = 6 r5-2;          r3 = 8;                r = 2.
a1= a2 / r; a1= 6/2= 3
3, 6, 12, 24, 48,...
Sucesiones especiales
Números triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla
xn =n(n+1)/2
Ejemplo:
El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cuadrados
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.
La regla es xn = n2

 
Números cúbicos
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
La regla es xn= n3
 
Números de Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
La regla es xn = xn-1 + xn-2
Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término secalcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
Tipos
Sucesiones convergentes

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Límite = 0

Límite = 1

Sucesiones divergentes

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞
Sucesiones oscilantes

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes....