sucesiones

Cálculo I
Sergio Plaza
June 9, 2011

Contenidos

1

Números Naturales

3

1.1

Axiomas de Peano e Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Producto de números Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Principio de Buena Ordenación . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4
1.5

Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 19

1.6
2

Suma de los cuadrados de los primeros n números naturales . 17

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Cuerpos

29

2.1

Axioma de la adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2

Axiomas de la multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3

Cuerpos Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 33

2.4

Orden en un cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5

Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6

Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.7

Supremo e ínfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
i

ii
2.8

Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 41

2.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3

Sucesiones de Números Reales

63

3.1 Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Límite de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3 Propiedades aritmética de los límites . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4 Límite de subsucesiones

. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.5 Límite superior y límite inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6

Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.7

Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4

Límite de Funciones
4.1

121Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.2 Límites en el infinito, límites infinitos, expresiones indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.1

Expresiones indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5 Funciones continuas

145

5.1Entre parentesis: un poco de topología en R . . . . . . . . . . 149
5.2

Continuidad Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.3 Ecuaciones no Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.3.1

Método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

1
5.3.2

Análisis del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.4
5.5
6

Métodositerativos de punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Derivada
6.1

191

Máximos y mínimos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.2

Funciones derivables definidas en intervalos . . . . . . . . . . 201

6.3

Desarrollo de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.3.16.3.2

6.4

Regla de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Funciones convexas y funciones cóncavas . . . . . . . . 229

Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.4.1

6.5

Análisis del Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7 Integral de Riemann267

7.1

Sumas de Riemann superiores e inferiores . . . . . . . . . . . . 269

7.2

Teoremas clásicos del cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . 276

7.3

Función logaritmo y función exponencial . . . . . . . . . . . . 294

7.4

Ejecicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

2

Capítulo 1
Números Naturales
1.1

Axiomas de Peano e...