sucesiones

Ejercicio 13, práctico 12: Límite superior y límite inferior. Sea (an )n∈N una sucesión acotada,
y sean sn = sup ak , rn = ´ ak .
ınf
k≥n

k≥n

a) Probar que rn ≤ an ≤ sn para todo n ∈ N y que las sucesiones (sn )n∈N , (rn )n∈N tienen límite.
Como (an )n∈N está acotada, supongamos que |an | ≤ M para todo n ∈ N y cierto M ∈ R.
Es obvio que rn ≤ an ≤ sn . Por otro lado, (sn )n∈N esdecreciente. En efecto, se toma supremo
sobre un conjunto cada vez más reducido. Además sn ≥ an ≥ −M: está acotada inferiormente.
Por lo tanto converge.
Análogamente, (rn )n∈N es creciente: se toma ínfimo sobre un conjunto cada vez más reducido.
Además rn ≤ an ≤ M: está acotada superiormente. Por lo tanto converge.
Se definen el límite superior y el límite inferior de la sucesión (an )n∈N como
l´ supan := l´ sn
ım
ım

l´ inf an := l´ rn
ım
ım

n

n

n

n

b) Probar que l´ inf an ≤ l´ sup an .
ım
ım
n

n

Como rn ≤ sn para todo n, i.e. ´ ak ≤ sup ak entonces tomando límites, por el ejercicio 5a) se
ınf
k≥n

k≥n

tiene que l´ ´ ≤ l´ sup, i.e. l´ inf an ≤ l´ sup an .
ım ınf
ım
ım
ım
n k≥n

n k≥n

n

n

c) Sea Ac(a) el conjunto de puntos de acumulaciónde (an )n∈N . Probar que
l´ sup an = m´x Ac(a)
ım
a

l´ inf an = m´ Ac(a)
ım
ın
n

n

Probemos que l´ inf an = m´ Ac(a), la otra igualdad es análoga. Sea a := l´ inf an .
ım
ın
ım
n

n

Probemos primero que a es un punto de acumulación de (an ). Para ver esto usamos el ejercicio
9. Sea ε > 0 y n0 ∈ N, veamos que existe N > n0 tal que |aN − a| < ε.
Por definición, a = l´ ´ , porlo tanto existe n1 > n0 tal que |´ ak − a| < ε para todo n ≥ n1 .
ım ınf
ınf
n k≥n

k≥n

En particular | ´ ak − a| < ε.
ınf
k≥n1

Tenemos entonces ´ ak < a + ε: por ser un ínfimo existe entonces un N ≥ n1 tal que
ınf
k≥n1

´ ak ≤ aN < a + ε. Como además a − ε < ´ ak , se deduce que a − ε < aN < a + ε, i.e.
ınf
ınf

k≥n1

k≥n1

|aN − a| < , donde N ≥ n1 > n0 , de donde este Nes el que buscábamos.
Sea ahora c < a y veamos que c no puede ser punto de acumulación de (an ), probando que c es
el menor punto de acumulación de (an ).
Como c < a = l´ ´ ak existe un n0 ∈ N tal que c < ´ ak para todo n ≥ n0 . Además
ım ınf
ınf
n k≥n

k≥n

´ ak ≤ an para todo n, por lo tanto c < ´ ak ≤ an para todo n ≥ n0 .
ınf
ınf
k≥n

k≥n0

Pero entonces a partir de n0 , setiene que |an − c| ≥ ´ ak − c > 0, por lo tanto a partir de n0
ınf
k≥n0

no encontramos términos de (an ) que estén a menos de ε := ´ ak − c de c, i.e. c no es punto
ınf
k≥n0

de acumulación de (an ).

d) Probar que (an )n∈N tiene límite si y sólo si su límite inferior y su límite superior coinciden, y en
este caso se tiene:
l´ an = l´ inf an = l´ sup an
ım
ım
ım
n

n

n

(⇒)Si (an ) converge, entonces tiene un único punto de acumulación que es su límite, por lo
tanto m´ Ac(a) = m´x Ac(a), de donde se deduce la tesis por la parte anterior.
ın
a
(⇐) Sea a := l´ ´ ak = l´ sup ak . Como además (´ ak )n∈N es creciente y (sup ak )n∈N es
ım ınf
ım
ınf
n k≥n

n k≥n

k≥n

k≥n

decreciente, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que, para todo n ≥ n0 :
a − ε < ´ ak ≤ a≤ sup ak < a + ε
ınf
k≥n

k≥n

Además ´ ak ≤ an ≤ sup ak para todo n, por lo tanto para todo n ≥ n0 se tiene a − ε < an <
ınf
k≥n

k≥n

a + , de donde (an ) converge y l´ an = a.
ım
n

e) Si (an )n∈N y (bn )n∈N son sucesiones acotadas, probar que:
a) l´ sup(an + bn ) ≤ l´ sup an + l´ sup bn ,
ım
ım
ım
n

n

b) l´ sup(−an ) = − l´ inf an ,
ım
ım
n

n

n

n

nn

l´ inf (−an ) = − l´ sup an
ım
ım
n

n

l´ inf (an bn ) ≥ (l´ inf an )(l´ inf bn )
ım
ım
ım

ım
ım
c) l´ sup(an bn ) ≤ (l´ sup an )(l´ sup bn ),
ım
n

l´ inf (an + bn ) ≥ l´ inf an + l´ inf bn
ım
ım
ım

n

n

n

n

n

donde en 3) suponemos an , bn ≥ 0 para todo n.
Para ver la primera desigualdad de a), observemos que fijado n, para todo r ≥ n se tiene
ar ≤...