Sucesiones


Sucesiones

Definición: Una función , se llama sucesión.
En símbolos: , con y .
Ejemplos:
1)
2) ,
3) 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213;…….
Ejercicio: Escriba los 10 primerostérminos de cada una de las siguientes sucesiones:
a), b), c),d), e), f), g), h) , ; i) ; j) 4; 3,2; 3,15; 3,142; 3,1416; 3,14160;

Sucesiones monótonas:

Definición: es monótona creciente en sentidoamplio  .
es monótona creciente en sentido estricto  .
es monótona decreciente en sentido amplio  .
es monótona decreciente en sentido estricto  .

Limite de una sucesión.

Definición: o    >0,  n0  N*/  n ≥ n0 
Definición: o   K > 0,  n0  N*/  n ≥ n0 
Definición: o   K > 0,  n0  N*/  n ≥ n0 
Definición: o   K > 0,  n0  N*/  n ≥ n0  o .
Definición: Si ,se dice convergente.
Definición: Si , se dice divergente.
Definición: Sino es convergente ni divergente se dice oscilante.

Teorema de unicidad.

Teorema: Si  lím a n = l  l es único.
Demostración:Supongamos que tiene dos límites, l y l’, l < l’.

Elijo  > 0 / l +  < l’-    +  < l’- l  2 < l’- l  .
Luego por definición:
{a n} l  dado  > 0,  n1  N* /  n ≥ n1   l -  < a n < l +.
{a n} l’  dado  > 0,  n2  N* /  n ≥ n2   l’-  < a n < l’+ .
Tomemos n ≥ máx{ n1, n2} a n < l + < l’-  < a n; absurdo  l = l’.


Sucesiones acotadas:
Definición: es acotada Teorema: Si es convergentees acotada.
Demostración:
Teorema: Si es divergenteno es acotada.
Demostración:
Teorema: Si es monótona creciente y acotada es convergente.
Demostración:

Número e.
Teorema: esmonótona creciente y acotada  es convergente.
Demostración:
 e = 2,7182818284……..

Teoremas sobre la conservación del signo.

Teorema: Si , con l’ < l (o l’ > l)   n0  N*/  n ≥ n0  (o ).Demostración:
Corolario:
1) Si > 0   n0  N*/  n ≥ n0  .
2) Si < 0   n0  N*/  n ≥ n0  .
Corolario: Si ,, n  N*,  .
En particular: Si , b  R,  n  N*,  .

Sucesiones Comprendidas....