Sucesiones

S U C E S I O N E S

1. Breve introducción.
2. Progresiones Aritméticas
2.1. Cálculo del término enésimo y demás términos.
2.2. Suma de los términos.
2.3. Medios Aritméticos.
3. Progresiones Geométricas
3.1. Cálculo del término enésimo y demás términos.
3.2. Suma de los términos.
3.3. Medios Geométricos.

1. Breve introducción.

En Pruebas Psicométricas, donde se establecenhabilidades verbales y numéricas, así como el cociente intelectual y pensamiento abstracto de personas, en varios ítems de esas pruebas se usan sucesiones, que son eventos matemáticos que se suceden uno al otro cumpliendo ciertas reglas, en donde el que se evalúa tiene que completar las mismas. Por ejemplo: dada la sucesión 5, 7, 9, 11,…, cuál es el número que sigue? El que sigue es el 13, yaque cada número después del 5 se obtiene sumándole 2 al anterior.
En esta unidad se estudiarán las Progresiones Aritméticas y Geométricas, las cuales tienen aplicaciones en Matemática Financiera como en el Interés Simple y en el Interés Compuesto, ya que el primero de ellos crece en progresión aritmética y el segundo crece en progresión geométrica.
Otra aplicación de las sucesiones se da enlos múltiplos de cualquier número. Por ejemplo:
…, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, …,
De lo anterior podemos llamar a la sucesión de números ordenados de acuerdo a una ley establecida como Progresión. Consideremos los siguientes ejemplos:
1) -5, -1, 3, 7, 11, … en este existe un orden tal que cada número se obtiene sumándole al anterior el 4.
2) 5, 10, 20, 40, 80, … en este existe un orden tal quecada número se obtiene multiplicando el anterior por 2.
El primero de los anteriores ejemplos corresponde a una Progresión Aritmética y el segundo ejemplo a una Progresión Geométrica.

2. Progresiones Aritméticas.

Se llama Progresión Aritmética a toda sucesión en la cual cada término, después del primero, se obtiene sumándole al anterior una cantidad constante llamada diferencia orazón.
Designaremos a la Progresión Aritmética como P.A., no olvidando que cada término se separa con una coma.
En cada Progresión Aritmética existen los siguientes elementos:
• Primer término, designándolo como “[pic]”.
• Término enésimo, o último término, como “[pic]”.
• Número de términos, como “n”
• Razón o diferencia, como“d”
Por ejemplo, en la P.A. 2, 7, 12, 17
[pic]

2.1. Cálculo del término enésimo y demás términos.
Para hallar el último término “[pic]” de una P.A. se aplica la siguiente fórmula:
[pic]
Por ejemplo: ¿Cuál es el 12º. término de la P.A. -5, -2, 1, …?

Al aplicar la fórmula, tendremos:
[pic]
[pic]-5 + (12-1).3
[pic]-5 + 33 = 28

Ejercicio:
1) Hallar el 14º.término de la P.A. 12, 5, -2
2) Hallar el 12º. término de la P.A. ½ , ¾, 1, …

De la fórmula dada para hallar [pic], podemos despejarla para hallar los demás términos, así:
[pic] [pic] fórmula para hallar el Primer Término
[pic] fórmula para hallar la Razón o Diferencia
[pic] fórmula para hallar el Número de Términos

Ejercicio:
1) El 32º. término de una P.A. es -18 y ladiferencia es -3. Hallar el primer término.
2) Hallar la razón de P.A. cuyo primer término es 4 y el 15º. término es 46.
3) ¿Cuántos términos tiene la P.A. 1, 5, 9, …, 97?
4) El tercer término en una P.A. es -2 y el octavo es 3. Escribir los términos de la P.A.

2.2. Suma de los términos de una P.A.
La suma de los términos de una P.A. se representa por [pic] y se calcula con la fórmula:[pic]
Por ejemplo: Hallar la suma de los 11 primeros términos de la P.A. 3, 10, 17, …,
[pic] [pic] [pic]= 73
[pic] 418
[pic]
Ejercicio:
1) Hallar la suma de los 10 primeros términos de la P.A. 23, 21, 19, …,
2) Una deuda puede ser pagada en 36 meses, pagando Q 24.00 el primer mes, Q 30.00 el segundo mes, Q 36.00 el tercer mes y así...