Suma de riemmann

Instituto tecnológico de estudios superiores de Zamora

Ingeniería en industrias alimentarias

Trabajo suma de riemmann
Por:
Carlos Alberto Barragán Pedraza
11010492
23/02/2012
Docente:
Ing. Mauricio Silva Álvarez
2º semestre grupo “A”

Índice
Introducción 3
Contenidos 3
Conclusión 9
Bibliografía 9




















IntroducciónEs aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann

Estas sumas fueron inventadas por Bernhard Riemann para aproximar el valor delas integrales definidas (es decir definidas en intervalos del tipo [a, b]) y para elaborar un criterio de integrabilidad (es decir para saber que funciones son integrables, y según que método de cálculo).

Contenidos
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida es decir el área bajo una curva, este métodoes muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectangulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas seobtiene un margen de error muy grande.
Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos:
La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux.
Para esta suma es importante saberlas siguientes identidades:
Sabiendo que:
Podemos obtener las siguientes igualdades:

(donde C es constante)








El teorema más elemental es el siguiente:
Para toda función continua en el intervalo [0, 1] las sumas de Riemann convergen a la integral de f en el intervalo:

Historicamente se ha sabido calcular sumas muy antes de medir áreas mediante integrales. Por estarazón el primer ejemplo utiliza el teorema en el sentido original de definir una integral gracias a las sumas de Riemann. El primer área que necesitó cálculos elaborados fue la definida por la parábola: la cuadratura de la parábola fue resuelta por Arquímedes en el siglo III adC aproximando una porción de parábola por triángulos cuyas superficies forman una sucesión geométrica. Utilizar rectángulosen vez de triángulos permite utilizar las sumas de Riemann.
Las sumas de Riemann constituyen un método efectivo pero aproximativo de cálculo de integrales. Para obtener una precisión impuesta de antemano, ¿Cuantos cálculos se necesitan? es decir, concretamente, ¿Qué valor mínimo de n escoger? (hay que tener en cuanta que cuando crece n crece la precisión del cálculo pero también el tiempo queconsumirá dicho cálculo). Más importante aun: ¿Qué método elegir? Aquí se entiende por método la manera de escoger los puntos ξk de cálculo de la función en cada intervalo [xk-1, xk].

Existen varios métodos de estos por ejemplo:
Método de los rectángulos

El llamado método de los rectángulos es el caso más sencillo, la de la subdivisión regular del intervalo [a, b] en n segmentos, con lospuntos de cálculo de la función a un extremo de cada segmento: Sea

El valor máximo de la derivada en valor absoluto.
Entonces el error entre la suma de Riemann S y la integral verifica:

Método de los puntos medios
El método de los puntos medios es el segundo caso más común, es una variante del anterior, con una única diferencia: Se toman como puntos de cálculo los centros de los...