Suma directa

BAIN 036 ALGEBRA LINEAL PARA INGENIERIA

SUMA Y SUMA DIRECTA • Sean W1 , W2 ≤ V , V espacio vectorial.
W1 + W2 ≤ V W1 + W2 = { x + y / x ∈ W1 , y ∈ W2 } se llama SUMA de W1 y W2

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y se anota: W1 ⊕ W2

Si W1 ∩ W2 = {0v } , entonces W1 + W2 se llama SUMA DIRECTA de W1 y W2 , Se cumple dim (W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim (W1 ∩ W2 )

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COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE Sea Vespacio vectorial sobre un cuerpo K . Sea B = {v1 , v2 ,..., vn } base (ordenada) de V .

∀v ∈ V , ∃ α1 , α 2 ,..., α n ∈ K / v = α1v1 + α 2 v2 + ... + α n vn ( los α i son únicos para cada vector v).

Los escalares : α1 , α 2 ,..., α n se llaman LAS COORDENADAS de v en la base B ,
α1  α  ó  2  se llama VECTOR DE COORDENADAS de v en la base B .     α n 

y

(α1 ,α 2 ,..., α n )ESPACIO FILA, ESPACIO COLUMNA, ESPACIO NULO Sea A ∈ M mxn ( R ) Se definen 3 espacios asociados a la matriz A .
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ESPACIO FILA : es el subespacio de IR n generado por las filas de A .(Considerados como vectores de R n ). Se anota F ( A ) . ESPACIO COLULMNA : es el subespacio de R m generado por las columnas de A (Considerados como vectores de R m ). Se anota C ( A) . ESPACIO NULO :es el subespacio de R n de todas las soluciones del sistema homogeneo cuya matriz de coeficientes es A , se anota N ( A) , o sea N ( A ) = { x ∈ R n / A ⋅ X = 0} - dim N ( A ) = n − r ( A)

(Paraefectuar el producto A ⋅ X , X se considera como matriz columna) • Se cumple : - dim F ( A) = dim C ( A ) = r ( A )

APLICACIÓN DEL ESPACIO FILA Sea S = {(1, 2,5, 4 ) , (1, −1, −2,0 ) , ( 2,1,3, 4 ) ,( 3,0,1, 4 )} ¿Es LI ó LD el conjunto S ?
• 1 2 5  1 −1 − 2 matriz A , donde A =  2 1 3  3 0 1 1 2 5 1 −1 −2  2 1 3  3 0 1

Consideremos

S = (1, 2,5, 4 ) , (1, −1, −2,0 ) , ( 2,1,3,4 ) , ( 3, 0,1, 4 )
4 0  4  4

como el espacio fila de una

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Hallemos r ( A) = dim F ( A) = dim S

4  1 2 5 4  1 2 5 4   0 −3 −7 −4  0 −3 −7 −4  0 → →  4  0 −3 −7...