Suma infinita

CRITERIOS BASICOS — SERIES NUMERICAS

• Una serie es una suma infinita, o la suma de una sucesi´n. Se escribe o
∞ n=1

an , donde la sucesi´n es {an}, y an se llama el t´rmino general de la o e

sucesi´n y de la serie. OJO: No se puede confundir la sucesi´n con la serie o o (que es su suma). • Lasseries se clasifican, seg´n su car´cter, en u a – Convergentes. Si la suma converge a un n. real. – Divergentes. Si la suma converge a +∞ o −∞. – Oscilantes.En otro caso. • Una serie de t´rminos todos del mismo signo s´lo puede ser convergente o e o divergente. Nunca ser´ oscilante. a
∞

C. Necesario deconvergencia:
n=1

an convergente ⇒ lim an = 0.
n→∞ ∞

• N´tese que seg´n lo anterior, si lim an = 0, entonces la serie o u
n→∞

an NO
n=1

esconvergente.

• Este criterio, puede ser lo primero que comprobemos en un problema de series.
∞

C. de Cauchy o de la ra´ Sea ız:
n=1 ∞

an un s.t.p. yλ = lim
n→∞ ∞

√ n

an .

•

λ1⇒
∞

n=1

an diverge. λ = 1 ⇒ ?.

C. de D’Alember o del cociente: Sea
n=1 ∞

an un s.t.p. y λ = lim
n→∞ ∞an+1 . an

•

λ1⇒

n=1

an diverge. λ = 1 ⇒ ?.

1

∞

C. de Raabe: Sea
n=1 ∞

an un s.t.p. y

λ = lim
n→∞ ∞

1−

an+1 an

n.•

λ>1⇒

an converge.
n=1

λ 1 ⇒ la serie converge; si p ≤ 1 ⇒ la serie diverge. ⇒ la serie converge. ⇒ la serie diverge.

• Si λ = 0 y p > 1• Si λ = +∞ y p = 1

N´tese que el criterio de Pingsheim no es m´s que el criterio de comparaci´n o a o con la serie arm´nica generalizada. o 2