Suma infinita

Isidoro Achar Masri 12-B

Proyecto IB Suma Infinita
Al usar en la siguiente formula los términos x=1 y a=2 obtuvimos la suma Sn de los primeros términos. (ln2)1 ,ln222×1,ln233×2×1.
valor de n | formula | término n | suma de n-términos |
0.000000 | 1/0!= | 1.000000 | 1.000000 |
1.000000 | (ln2)/1= | 0.693147 | 1.693147 |
2.000000 | ((ln2)^2)/2!= | 0.240227 | 1.933374 |
3.000000 |((ln2)^3)/3!= | 0.055504 | 1.988878 |
4.000000 | ((ln2)^4)/4!= | 0.009618 | 1.998496 |
5.000000 | ((ln2)^5)/5!= | 0.001333 | 1.999829 |
6.000000 | ((ln2)^6)/6!= | 0.000154 | 1.999983 |
7.000000 | ((ln2)^7)/7!= | 0.000015 | 1.999999 |
8.000000 | ((ln2)^8)/8!= | 0.000001 | 2.000000 |
9.000000 | ((ln2)^9)/9!= | 0.000000 | 2.000000 |
10.000000 | ((ln2)^10)/10!= | 0.000000 | 2.000000 |

Alanalizar la grafica podemos observar un comportamiento asintótico ya que al llegar la grafica al número 2 se puede observar como la grafica ya no sube ni baja de ahí. Este grafica sale de la siguiente formula.
limn→∞ln2nn!=2

Al igual que en el primer ejercicio y para analizar los resultados obtenidos realizamos el mismo procedimiento cambiando el termino a=3 en la formula (ln3)1,ln322×1,ln333×2×1. Al solo cambiar el valor de “a” pudimos obtener la suma Sn de los siguientes números.
valor de n | término n | suma de n-términos |
0.000000 | 1.000000 | 1.000000 |
1.000000 | 1.098612 | 2.098612 |
2.000000 | 0.603474 | 2.702087 |
3.000000 | 0.220995 | 2.923082 |
4.000000 | 0.060697 | 2.983779 |
5.000000 | 0.013336 | 2.997115 |
6.000000 | 0.002442 | 2.999557 |
7.000000 |0.000383 | 2.999940 |
8.000000 | 0.000053 | 2.999993 |
9.000000 | 0.000006 | 2.999999 |
10.000000 | 0.000001 | 3.000000 |

Al observar esta grafica se puede ver el mismo fenómeno asintótico que en la grafica anterior solo que en vez de que el limite sea en 2 ahora es en 3, y sale de la siguiente formula.
limn→∞ln3nn!=3
En la siguiente grafica se puede observar la comparación de las dosgraficas anteriores usando a=2 y a=3.

Para comprobar lo anterior se usaron los términos a=5, a=8 y a=10 para la progresión cuando x=1 (lna)1 ,lna22×1,lna33×2×1. O sea usando las siguientes formulas de acuerdo con los resultados anteriores.
valor de n | término n cuando a=5 | suma de n-términos a=5 | término n cuando a=8 | suma de n-terminos a=8 | término n cuando a=10 |
0.000000 | 1.000000 |1.000000 | 1.000000 | 1.000000 | 1.000000 |
1.000000 | 1.609438 | 2.609438 | 2.079442 | 3.079442 | 2.302585 |
2.000000 | 1.295145 | 3.904583 | 2.162039 | 5.241480 | 2.650949 |
3.000000 | 0.694819 | 4.599402 | 1.498611 | 6.740091 | 2.034679 |
4.000000 | 0.279567 | 4.878969 | 0.779068 | 7.519159 | 1.171255 |
5.000000 | 0.089989 | 4.968958 | 0.324005 | 7.843165 | 0.539383 |
6.000000 |0.024139 | 4.993096 | 0.112292 | 7.955457 | 0.206996 |
7.000000 | 0.005550 | 4.998646 | 0.033358 | 7.988814 | 0.068089 |
8.000000 | 0.001117 | 4.999763 | 0.008671 | 7.997485 | 0.019598 |
9.000000 | 0.000200 | 4.999962 | 0.002003 | 7.999488 | 0.005014 |
10.000000 | 0.000032 | 4.999995 | 0.000417 | 7.999905 | 0.001154 |
suma de n-terminos a=10 |
1.000000 |
3.302585 |
5.953534 |7.988213 |
9.159468 |
9.698851 |
9.905847 |
9.973936 |
9.993534 |
9.998548 |
9.999702 |
limn→∞ln5nn!=5 limn→∞ln8nn!=8 limn→∞ln10nn!=10

Cuando x=1 el límite de la suma de n términos =a.
Limn→∞nlnann!
Se puede concluir con esto que al hacerse más grande el valor de “a”, la suma sn términos se alarga mas por lo que tarda mas en alcanzar el limite.

Ahora secalculará la suma de los primeros 9 términos para cuando:
x=2 y a=5
valor de n | x=2 | Suma de n terminos |
0.000000 | 1 | 1 |
1.000000 | 3.21887582 | 4.218875825 |
2.000000 | 5.18058079 | 9.399456613 |
3.000000 | 5.55854875 | 14.95800537 |
4.000000 | 4.47306955 | 19.43107492 |
5.000000 | 2.87965109 | 22.310726 |
6.000000 | 1.54487321 | 23.85559921 |
7.000000 | 0.71039358...