sumas de rieman
Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f x = x 2, x =0, x = 2 y el eje x mediante el
cálculo del límite de las sumas de Riemann:
SOLUCION:
2− 0 2
x==
Primero dividimos [0,2] en n subintervalos de igual longitud:
n
n
2
i
x i = a i x = 0 i = 2
La enésima suma de Riemann es
n
n
n
n
n
n
n
i2
i22
8
8
8 n n 1 2 n 1 f x i x =∑i =1 f 2 =∑i =1 2 =∑i =1 3 i 2= 3 ∑i =1 i 2= 3 [
]
∑i=1
nn
nn
6
n
n
n
el área de la región es el límite de las sumas de Riemann:
n
4 n 1 2 n 1 8
limn ∞ ∑i =1 f x i x = lim n ∞ [
]=
3
3 n2
Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f x = x −1 2 2, x =−1, x = 2 y el eje x
mediante la búsqueda del límite de lassumas de Riemann.
SOLUCION:
Se divide [-1,2]:
x=
;
2 −−1 3
=
n
n
x i = a i x =−1
3i
n
La enésima suma de Riemann es
n
∑i=1
2
n
n
i3
i
3
f x i x =∑i=1 f −1 3 =∑i =1 [ −1 3 −1 2 ]
nn
n
n
=
=
n
∑i=1 f x i x
n
3i
2
3
n
9 i2
∑i=1 [ n −2 2 ] n =∑i=1 n2 −
n
∑i=1 27
12 i
3
42
n
ni 2 36 18 27 n 2 36 n
18 n
− 2 i = 3 ∑i =1 i − 2 ∑i =1 i ∑i =1 1
3
n
n
nn
n
n
n 1 2
n 1
= 27 n n 1 2 n 1 36 n n 1 18
[
]− 2 [
] n = 9 n 1
n −1818
3
6
2
n
2
n
n
n
el área de la suma de Riemann:
n
lim n ∞ ∑i =1 f x i x = lim n ∞ [ 9 n 1
2 n 1 2
n 1
n −18
18 ] = 9 -18 + 18 =9
2
n
Hallar elárea de la región bordeada por las gráficas de f x = 2 x 2 3 , x =−2, x = 0 y el eje x
mediante el cálculo del límite de las sumas de Riemann.
SOLUCION
2
2i
Se divide [-2,0]: x = ; x i=−2
la énesima suma de Riemann es:
n
n
2
2
2
3
n
n
n
n 1
2i
2
32 i 3 32 n 3 32 n n 1
∑i=1 f xi x =∑i=1 2 −2 n 2 n =∑i=1 n4 = n4 ∑i=1 i = n4 [ 4 ]=8 n2
se...
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