Sumas de Riemman

Introducción
Las matemáticas ponen a nuestra disposición herramientas que podemos aplicar en la realización y optimización de tareas que son comunes en nuestro entorno. Los métodos que han sido desarrollados, aunados a las herramientas tecnológicas de las que podemos disponer, nos permiten acercarnos a la realidad de forma analítica, beneficio que es aterrizado en estimaciones y comparacionesque den respuestas prácticas a problemas complejos, permitiendo una mejor comprensión de las situaciones y un manejo de recursos eficiente.
En esta ocasión, se analiza un caso en el que se debe pintar una pared con forma irregular, es decir, cuya altura varía sin un patrón apreciable. Para esta tarea resulta necesario calcular su área de la forma más exacta posible, de modo que se pueda plantearun presupuesto de la pintura que será necesario utilizar, considerando un margen de error proveniente de las mediciones. El área exacta de la pared es inaccesible debido a su forma irregular y a la limitación de los instrumentos de medición y el error humano que conlleva utilizarlos, por lo que se dispone únicamente de mediciones de la altura de la pared en intervalos de 10cm dentro de los que sedesconoce el comportamiento de la altura.
El objetivo es determinar el presupuesto que se requeriría para pintar la pared completa recurriendo a dos métodos: la estimación del área mediante sumas de Riemann por exceso y defecto y el cálculo del área mediante un ajuste de la altura a una función polinomial; se determinará el más eficiente, se evaluará y, finalmente, se considerará el impacto en elpresupuesto de los errores en la medición.


Procedimiento
En primer lugar, para dar una idea general de la forma de la pared, se graficaron los puntos que representan las mediciones obtenidas en los diferentes intervalos. Al usar el software Mathematica, se obtuvo lo siguiente1:

Una vez definidos los puntos, se ajustó a ellos una función polinomial de grado 12, con el fin de quepermitiera predecir el comportamiento de la altura de la pared. La función fue la siguiente2:



Se redondearon todos los términos a cuatro cifras decimales.

Para estimar el área de la pared nos auxiliamos de la sumatoria de Riemann. A partir de los datos de los que se dispone. Se plantearon 27 intervalos de 10cm, mismos en los que se realizaron las mediciones. Para los términos de la suma porexceso, se tomó en cuenta la medición del extremo derecho del intervalo, mientras que para la suma por defecto se trabajó con el valor de la altura correspondiente al extremo izquierdo. A partir del intervalo y su valor de altura correspondiente, se plantean rectángulos que posteriormente se sumaron para estimar el área de la pared. Como apoyo tecnológico para realizar las sumas se utilizó elsoftware Excel.3 Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
Suma por exceso: 30.95 m2
Suma por defecto: 29.97 m2
Por otro lado se hizo uso de la función obtenida para calcular el área exacta de la pared mediante una integral definida.

Para calcular el precio que significaría el pintar por ambos lados despreciando el ancho de la misma tenemos que:

X2 (por ser de ambos lados)

Ahora, paracalcular dicho presupuesto desde los 2.3 metros hasta los 2.7 metros debemos calcular el área de la pared de un lado y multiplicar dicho valor por 2. Para ello recurrimos a la integral de la función que determinaba la altura de la pared en función de su base ya que nos daba el valor exacto del área en el intervalo deseado si no se consideraba error alguno en las mediciones hechas. De ahíobtuvimos la siguiente expresión:

Por lo que el costo de pintar la pared por ambos lados en el intervalo requerido fue de:

x2

Se consideró un error máximo de 10 cm en la medición de la altura. Dicho valor se tomó como el diferencial de Y. Se considera que el área de la función es la sumatoria de los productos de la base por la altura de intervalos infinitamente pequeños en X y que dicha altura...