Superficie de Respuesta

Superficie de Respuesta

Introducción

Los diseños de experimentos factoriales y fraccionales, sirven para hacer una selección de factores más relevantes que afectan el desempeño del proceso. El paso siguiente es la optimización del proceso, o la búsqueda de las condiciones de operación para las variables del proceso que lo optimicen. Sirven para modelar y analizar aplicaciones donde larespuesta de interés es influenciada por diversas variables y el objetivo es optimizar esta respuesta. Supóngase que se desea obtener el máximo rendimiento en un proceso (y) que tiene como variables relevantes la temperatura de reacción (x1) y el tiempo de reacción (x2). La función de rendimiento está en función de temperatura y tiempo, o sea:Ec.1
La superficie representada por esta ecuación se denomina superficie de respuesta.
Región óptima



Rendimiento Tiempo de reacción (min.)
esperado (%) Temperatura (ºC)

Fig. 1 Superficie de respuesta tridimensional, muestra el rendimiento esperado en función de la temperatura y tiempo
Si la respuestaes modelada adecuadamente por una función lineal de las variables independientes, entonces la función de aproximación es el modelo de primer orden, por ejemplo:
Ec.2
Si hay curvatura en el sistema, entonces se requiere un polinomio de mayor orden por ejemplo, el modelo de segundo orden,
Ec.3

Metodología

El siguiente problema se resolvió de forma: central y cuadrica en elsoftware Desing-Expert 7.exe, que se instalo en la maquina: ____________ y Matlab 7.0 en orden mencionado.

Ejercicio:

Un ingeniero químico está interesado en determinar las condiciones de operación que maximizan el rendimiento de un proceso. Hay dos variables de control que influyen Tiempo de reacción y temperatura de reacción, el punto de operación actual es 35 minutos y 155ºF que da unrendimiento del 40% aproximadamente.

Se hace un diseño experimental variando el tiempo (80 minutos) y la temperatura (175ºF).

Por simplicidad se codifican las variables en el intervalo (0,0). Si las variables codificadas son X1 y X2 y agregando puntos axiales en +- 1.414.

Los experimentos a realizar por medio del diseño central compuesto tomando el nuevo punto (0,0) en (85, 175) y agregando puntosaxiales en +- 1.414 queda como:









Variables

Variables



del Proceso

codificadas

Rendimiento
Corrida
Tiempo (min.)
Temp.(ºF)
X1
X2
Y2
1
80
170
-1
-1
76.5
2
80
180
-1
1
77.0
3
90
170
1
-1
78.0
4
90
180
1
1
79.5
5
85
175
0
0
79.9
6
85
175
0
0
80.3
7
85
175
0
0
80.0
8
9
85
85
175
175
0
0
0
0
79.7
79.8
10
11
12
13
92.07
77.93
85
85
175
175
182.07
167.93
1.414
-1.414
0
0
0
0
1.414
-1.414
78.475.6
78.5
77.0

** Método Central Composite Design**

A continuación se presentan los resultados obtenidos:

S = 0.2660 R-Sq = 98.3% R-Sq(adj) = 97.0



Se observa en la Tabla no.___ en la fila de Linear y Square que el modelo que mejor ajusta es el cuadrico











Con los resultados obtenidos en la tabla no.____, la Ecuación de regresión es la siguiente:

Y = 79.94 + 0.995ª + 0.515B–1.376 A*A – 1.001 B*B + 0.25AB Ec. 4


En la figura A se muestra la relaciòn entre temperatura y tiempo, mostrando que hay un punto màximo en las coordenadas ( , ).
En la figura B se muestra la grafica de Nivel…


Con base al metodo Central Composite Design se obtuvo que el mejor metodo para el problema planteado fue el metodo Cuadratico

**Método Cuadrático**
Lalocalización exacta del punto estacionario se obtiene de la ecuación matricial siguiente:



Las matrices se invierten marcando el área donde quedará el resultado y con la función matemática MINV (rango de la matriz original).

Las matrices se multiplican marcando el área donde quedará el resultado y usando la función MMULT.

En términos de las variables naturales el punto estacionario es:...