Superficies Cónicas

Curso:
Geometría Analítica.

SUPERFICIES


Superficies:
1. Definición:
Se llama superficie al conjunto de puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen a una sola ecuación de la forma F(x, y, z)=0.
Aunque la ecuación contiene 3 variables, la ecuación de una superficie puede contener solamente una o dos variables. Ejemplo:

* x2+y2=4 (cilindro)2. Discusión de graficas:
Se realizan los siguientes pasos para poder construir una ecuación de la forma F(x, y, z).
1. Intercepciones con los ejes coordenados.
a. Con el Eje X hacemos y=z=0
b. Con el Eje Y hacemos x=z=0
c. Con el Eje Z hacemos x=y=0
2. Trazas sobre los planos coordenados.
d. Con el plano XY hacemos Z=0
e. Con el plano XZ hacemos y=0f. Con el plano YZ hacemos x=0
3. Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen: Se dice que dos puntos diferentes son simétricos con respecto a un plano si solo si el plano es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.
g. Con el plano xy hacemos z= -z
h. Con el plano xz hacemos y= -y
i. Con el plano yz hacemos x= -xj. Con el eje x hacemos y= -y; z= -z
k. Con el eje y hacemos x= -x; z= -z
l. Con el eje z hacemos x= -x; y= -y
m. Con el origen hacemos x= -x; y= -y, z= -z
4. Secciones transversales:
n. ST. Con el eje x hacemos x=k (cte.)
o. ST. Con el eje y hacemos y=k (cte.)
p. ST. Con el eje z hacemos z=k (cte.)

5. Extensión de la superficie:
q.Hacemos X en función de Y, Z
r. Hacemos Y en función de X, Z
s. Hacemos Z en función de X, Y
3. Superficies:
3.1Esfera:
Recuérdese que en geometría se define a la esfera como el lugar geométrico de todos los puntos en el espacio que están a una distancia dada (radio de la esfera) a un punto dado (centro de la esfera). Por lo tanto, si el centro es C (x0, Y0, Z0) y el radio es r,entonces un punto P (X, Y, Z) está sobre la esfera si y solo sí:
II P – C II = r
Empleando coordenadas cartesianas el punto P esta sobre la esfera si y solo si:
(X-Xo)2+(Y-Yo)2+ (Z-Zo)2=r
(X-Xo)2+(Y-Yo)2+(Z-Zo)2=r2
Desarrollando los cuadrados en el primer miembro y ordenando los términos se obtiene:
X2+Y2+Z2-2XoX-2YoY-2ZoZ+Xo2+Yo2+Zo2-r2=0
En General la ecuación de la esfera tiene lasiguiente forma:
x2+y2+z2+Gx+Hy+Iz+J=0
Recíprocamente completando cuadrados se puede escribir a una ecuación de la forma:
(X-Xo)2+(Y-Yo)2+(Z-Zo)2=k
Donde si:
* k>0 la ecuación corresponde a una esfera de radio k.
* K=0 la gráfica de la ecuación sería un punto (Xo, Yo, Zo).
* K<0 no existe dicha gráfica.

3.1.2 Plano tangente a la esfera:
Existe un solo plano P tangente a laesfera S que pasa por un punto T dado de S. Se puede emplear el hecho de que el vector V pase por el centro C de S a T perpendicular a P para obtener una ecuación de P así las coordenadas de T son (X1, X2, X3) y la ecuación de S es: (X- Xo)2+ (Y- Yo)2+ (Z- Zo)2=r2. Entonces su V seria: (X1-X0, Y1-Yo, Z1- Zo) que va desde C hacia T. Puesto que P contiene a T y es perpendicular a V, un punto U (x, y,z) está sobre P si solo si:
V. (U - T)=0
(X1-X0)(X-X1)+(Y1-Yo)(Y-Y1)+(Z1-Z0)(Z-Z1)=0
O bien:
(X1-X0)(X-X0)+(Y1-Yo)(Y-Y0)+(Z1-Z0)(Z-Z0)=r2

3.2 El Cilindro:
Una superficie cilíndrica es la superficie generada por una recta que se mueve de tal forma que siempre es paralela a su posición original e interseca una curva plana. La curva plana se denomina directriz y la recta móvil es la generatrizo elemento.

Se clasifica a los cilindros según la naturaleza de sus directrices. Por ejemplo si la directriz es una circunferencia entonces el cilindro es un cilindro circular. La recta que es paralela a un elemento y contiene al centro de la circunferencia se le llama eje del cilindro. Si los elementos de un cilindro circular son perpendiculares al plano de la circunferencia se dice que es...