Superficies como Lugares Geométricos

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LAS SUPERFICES COMO LUGARES GEOMÉTRICOS
Como hemos dicho en la página 2 del presente capítulo, los planos,
la superficie esférica, los cilindros y los conos pueden tratarse con relativa facilidad
en el espacio tridimensional, definiéndolos como lugares geométricos.
La Superficie esférica:
Decimos que la superficie esférica es el conjunto de los
puntos del espacio tridimensional queequidistan de un punto fijo llamado
centro.
Análogamente a lo que hicimos al tratar la circunferencia,
dibujamos el lugar geométrico y, por aplicación del teorema de Pitágoras para el
espacio tridimensional, obtenemos la ecuación:
x2 + y2 + z2 = r 2
que corresponde al caso particular de una superficie esférica con centro en el
origen del sistema de coordenadas y radio r .
Actividad: definidala superficie esférica como lugar geométrico, encontrar su
ecuación en el caso de centro desplazado del origen de coordenadas..
z

P(xo , y o , z 0 )

y
x

9

Superficies cilíndricas
Son las generadas por una recta que se mueve
manteniéndose paralela a una dirección dada y pasa siempre por un punto de una
curva plana.
La recta móvil recibe el nombre de generatriz y la curva fijase denomina directriz de la superficie cilíndrica.
Para nuestro estudio particular consideraremos que la
directriz es una curva ubicada sobre una de los planos coordenados.
Ejemplo: Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica cuya directriz es la parábola.
x 2 = 4 y ; z = 0 y cuya generatriz tiene como vector director OP = d = (2,2,4)
z

•P

O
•
P´

y

x
Supongamos que cuando lageneratriz pasa por P (x,y,z)
x − x´ y − y´ z
corta a la directriz en P´(x´,y´o); las ecuaciones de la recta son:
=
=
2
2
4
Como P´está sobre la parábola, resulta que sus coordenadas deben satisfacer la
ecuación, es decir: x ´2 = 4 y´; z´= 0

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Despejando x´; y´ de las ecuaciones de la recta
z
2
z
2( y − y´) = z ⇒ 2 y − 2 y´= z ⇒ y´= y −
2
introduciendo los valores halladosen la primera de las ecuaciones de la parábola.
z
z
( x − ) 2 = 4( y − )
2
2
2
z
x 2 − xz +
= 4 y − 2z
4
z2
x2 +
− xz − 4 y + 2 z = 0 es la ecuación de la superficie buscada.
4
2( x − x´) = z ⇒ 2 x − 2 x´= z ⇒ x´= x −

Acabamos de ver como se determina la ecuación de una
superficie cilíndrica conociendo las ecuaciones de su directriz y un vector director
de su recta generatriz.El problema inverso consiste en encontrar las ecuaciones de
la directriz y un vector director de la recta generatriz a partir de la ecuación de una
superficie cilíndrica.
Para ello seguimos el siguiente ejemplo:
Demostrar que la ecuación x 2 + y 2 + 2 z 2 + 2 xz − 2 yz = 1
corresponde a una superficie cilíndrica y hallar las ecuaciones de su directriz y un
vector director de su rectageneratriz.
Las secciones de la superficie x 2 + y 2 + 2 z 2 + 2 xz − 2 yz = 1
con z= k son las curvas de ecuaciones. x 2 + y 2 + 2k 2 + 2kx − 2ky = 1 ; z = k , o bien

( x + k )2 + ( y − k )2 = 1 ; z = k
Las ecuaciones precedentes son las expresiones analíticas
de las circunferencias de radio igual a 1, cualquiera sea k, ubicadas sobre planos
paralelos al plano xy.
En particular para k=0obtenemos
ecuaciones
x2 + y2 = 1 ; z = 0

la circunferencia de

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En consecuencia, la superficie estudiada es un cilindro
circular de directriz x + y 2 = 1 ; z = 0
2

La recta que une el centro (-k,k,k) de cualquier
circunferencia y el centro (0,0,0) de la directriz es paralela a la generatriz; un
vector director de esta recta es (-1,1,1) y entonces, estas son las componentes de
unvector director de la generatriz.
z
• P(− 1,1,1)
•

y

x
En el caso particular en que la generatriz de un cilindro sea
perpendicular al plano de la directriz, diremos que se trata de un cilindro recto.
Como veremos más adelante los cilindros rectos resultan de
gran utilidad en el estudio de la forma de cualquier superficie cuádrica ya que
permiten interpretar la misma cuando se conoce su...