Superficies cuadraticas.

Superficies cilíndricas:

Un cilindro es una superficie generada por una recta que se mueve a lo largo de una curva plana de tal manera que siempre permanece paralela a una recta fija que no está contenida en el plano de la curva dada. La recta que se mueve se denomina generatriz del cilindro, y la curva plana dada se llama directriz del cilindro. Cualquier posición de una generatriz recibe elnombre de regladura del cilindro.

Supongamos que la ecuación de la directriz en el plano xy es y = f(x). Si el punto (, , ) del plano xy satisface esta ecuación, entonces cualquier punto de la forma (, , z) del espacio tridimensional, donde z es cualquier número real, satisfará la misma ecuación, debido a que z no aparece en la ecuación.

Los puntos que tienen representaciones (, , z)están ubicados en una recta paralela al eje z, que pasa por (, , ). Esta recta es una regladura del cilindro. En consecuencia, cualquier punto cuyas coordenadas x, y satisfagan la ecuación y = f(x), estará en el cilindro.

Recíprocamente, si P(x, y, z) pertenece al cilindro, entonces el punto (x, y, 0) está en la directriz del cilindro la cual se encuentra en el plano xy, y en consecuencia, lascoordenadas x, y de P satisfacen y = f(x).

Si y = f(x) se considera como una ecuación de la gráfica en el espacio tridimensional, entonces la gráfica es un cilindro cuyas regladuras son paralelas al eje z, y el cual tiene como directriz a la curva y = f(x) contenida en z = 0.
Se tiene una explicación semejante cuando la directriz esta en alguno de los otros planos coordenados. Los resultados seresumen en el teorema siguiente:

En el espacio tridimensional, la grafica de una ecuación en dos de las tres variables x, y, z es un cilindro cuyas regladuras son paralelas al eje asociado con la variable que falta y cuya directriz es una curva en el plano asociado con las dos variables que aparecen en la ecuación.

Las superficies cilíndricas pueden ser:

* superficie cilíndrica derevolución: si todas las generatrices equidistan de un eje, paralelo a ella,
* superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de las generatrices.

Desarrollo de la superficie cilíndrica

La superficie de un cilindro recto de base circular está conformada por un rectángulo de altura y base, siendo dicha superficie:
Además dispone de dos bases circulares, de áreaÁrea de la superficie cilíndrica

El área de la superficie de un cilindro es: la suma de la superficie lateral más la superficie de las dos bases
En un cilindro recto de base circular, es:

Volumen del cilindro

El volumen de un cilindro es el producto del área de la base por la altura del cilindro.
El volumen de un cilindro de base circular, es:

siendo la altura del cilindro ladistancia entre las bases.

Cilindro: superficie cónica
Las secciones cónicas son de tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas, que sirviendo de directrices, originan tres tipos de superficies cilíndricas:

*Cilindro elíptico. * Cilindro parabólico. * Cilindro hiperbólico.


Tomando como directriz una elipse, se puede generar una superficie cilíndrica elíptica(que incluye a los cilindros circulares, cuando los semiejes de la elipse son iguales).
En un sistema ortogonal de coordenadas, tomando como eje z una recta cuya dirección es paralela a la generatriz, si se escoge como origen el centro de simetría, la ecuación de la superficie cilíndrica es similar a la de la superficie cónica correspondiente.

La ecuación de un cilindro elíptico es de la forma:donde a y b son los semiejes.

Cilindro parabólico:
En similares condiciones, la ecuación de una superficie parabólica será de la forma:

Cilindro hiperbólico:
En similares condiciones, la ecuación de una superficie hiperbólica es de la forma:

Superficies cuádricas

Definición:
Una superficie cuádrica (o cuadrática) es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres...