Superficies Cuadraticas

SUPERFICIES CUADRATICAS
Superficie: Se llama superficie al conjunto de puntos del espacio euclidiano tridimensional cuyas
coordenadas satisfacen una ecuación de la forma F (x, y, z ) = 0 . Aunque laecuación anterior expresa
una relación entre tres variables, no siempre será así, por ejemplo:
La ecuación y =2 , representa un plano en R3
La ecuación x2 + y2 = 1, representa un cilindro en R3.También debemos aclarar que la ecuación F ( x, y, z ) = 0 no siempre representa una
superficie.
Así tenemos x2 + y2 + z2 + 1 = 0 que no tiene solución en R3
Se llama superficie cuadrática o cuádrica,aquella cuya ecuación es de la forma:
Ax +By +Cz +Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0
Donde, al menos uno de los seis primeros coeficientes A, B, C, D, E y F es diferente de cero.
Las superficies cuadráticas seclasifican en:
• Elipsoides.
• Paraboloides.
• Hiperboloides.
• Conos.
• Cilindros.

Identificación de una cuadratica
Para identificar una cuádrica tenemos varias opciones. Por ejemplo: Cuando los trescoeficientes D, E y
F son nulos simultáneamente, el eje o los ejes de la superficie son paralelos a los ejes coordenados. En
estas circunstancias, los signos de los coeficientes A, B y C permiten haceruna pre- identificación de la
superficie: Si A, B y C tienen el mismo signo, la ecuación representará un elipsoide cuando dichos
valores sean diferentes; sin embargo si son iguales, representará a unaesfera*

ELIPSOIDES
La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los
cartesianos, es:

donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoiderespecto de los ejes x, y , z; son números
reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide
es un esferoide; si los tres son iguales, se trata deuna esfera.
El volumen de un elipsoide está dado por la ecuación:

PARABOLOIDES
Un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional que se describe mediante
ecuaciones cuya forma...