superficies cuadricas
Páginas: 4 (982 palabras)
Publicado: 19 de noviembre de 2013
SUPERFICIES CUADRATICAS:
Se llama superficie al conjunto de puntos del espacio euclidiano tridimensional cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de la forma F ( x, y, z ) = 0 . Aunque la ecuaciónanterior expresa una relación entre tres variables, no siempre será así, por ejemplo:
La ecuación y = 2 , representa un plano en R 3
La ecuación x 2 + y2 =1, representa un cilindro en R3También debemos aclarar que la ecuación F ( x, y, z )= 0 no siempre representa una superficie. Así tenemos x 2 +y 2 +z2 +1 = 0 que no tiene solución en R3
Podemos decir heurísticamente que visto desdecerca los alrededores de un punto de una superficie estos se parecen al plano cartesiano. O también, podemos imaginar a una superficie como un plano deformado.
Se llama superficie cuadrática ocuádrica, aquella cuya ecuación es de la forma:
Ax +By +Cz +Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0
Donde, al menos uno de los seis primeros coeficientes A, B, C, D, E y F es diferente de cero.
ClasificaciónLas cuádricas se clasifican de acuerdo a su signatura s, es decir, el módulo de la diferencia entre el número de autovalores positivos y negativos de A00. Sin embargo, para calcular la signatura de lacuádrica no es necesario diagonalizar la matriz, debido a la existencia de unas cantidades invariantes asociadas a A00 que permiten determinar s sin necesidad de calcular explícitamente susautovalores. Veámoslo:
los autovalores son las raíces del polinomio característico, es decir, las
Soluciones de la ecuación.
Ahora bien,
Con :
Cuando los tres auto valores de A00 son no nulos, esdecir, det A00 ¹ 0, si escribimos la sucesión K, J, I, 1 y denotamos por P y V el número de permanencias y variaciones de signo que hay en ella, respectivamente, entonces |P-V| = s. Los valores I, J, Kse conocen como invariantes de la cuádrica. De esta forma se tiene:
1. Si s = 3 :
1. det A > 0 ---> elipsoide real
2. det A < 0 ---> elipsoide imaginario (no existen puntos reales que verifican...
Se llama superficie al conjunto de puntos del espacio euclidiano tridimensional cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de la forma F ( x, y, z ) = 0 . Aunque la ecuaciónanterior expresa una relación entre tres variables, no siempre será así, por ejemplo:
La ecuación y = 2 , representa un plano en R 3
La ecuación x 2 + y2 =1, representa un cilindro en R3También debemos aclarar que la ecuación F ( x, y, z )= 0 no siempre representa una superficie. Así tenemos x 2 +y 2 +z2 +1 = 0 que no tiene solución en R3
Podemos decir heurísticamente que visto desdecerca los alrededores de un punto de una superficie estos se parecen al plano cartesiano. O también, podemos imaginar a una superficie como un plano deformado.
Se llama superficie cuadrática ocuádrica, aquella cuya ecuación es de la forma:
Ax +By +Cz +Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0
Donde, al menos uno de los seis primeros coeficientes A, B, C, D, E y F es diferente de cero.
ClasificaciónLas cuádricas se clasifican de acuerdo a su signatura s, es decir, el módulo de la diferencia entre el número de autovalores positivos y negativos de A00. Sin embargo, para calcular la signatura de lacuádrica no es necesario diagonalizar la matriz, debido a la existencia de unas cantidades invariantes asociadas a A00 que permiten determinar s sin necesidad de calcular explícitamente susautovalores. Veámoslo:
los autovalores son las raíces del polinomio característico, es decir, las
Soluciones de la ecuación.
Ahora bien,
Con :
Cuando los tres auto valores de A00 son no nulos, esdecir, det A00 ¹ 0, si escribimos la sucesión K, J, I, 1 y denotamos por P y V el número de permanencias y variaciones de signo que hay en ella, respectivamente, entonces |P-V| = s. Los valores I, J, Kse conocen como invariantes de la cuádrica. De esta forma se tiene:
1. Si s = 3 :
1. det A > 0 ---> elipsoide real
2. det A < 0 ---> elipsoide imaginario (no existen puntos reales que verifican...
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