Superficies De Revolucion

Superficies de Revolución
Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:
* Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta,paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio.
* Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que lageneratriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.
* Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.
* Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no lainterseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.

Aplicaciones: La utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, así como en el diseño, cuando se dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto.
La alfarería, y el torneado industrial, moldean ymodelan volúmenes con variadas superficies de revolución de gran utilidad y uso cotidiano.
Área de una superficie de Revolución: Si la curva está definida por las funciones  y , perteneciendo  a un intervalo  y siendo el eje de revolución el eje coordenado , el área  estará dada, entonces, por la integral

siendo  siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide dePappus. Asimismo, la cantidad

se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad  es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución.
Si la curva está definida por la función , la integral se transforma en

para una curva que gira alrededor del eje delas abscisas, y

para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas.
Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva  y  cuando  toma valores en el intervalo . Su área, por tanto, será

Geometría diferencial de una superficie de Revolución:
Una superficie de revolución puede ser parametrizada mediante una coordenada a lo largo de su generatriz u y unacoordenada angular v de tal manera que:

Las curvas con u = constante, son círculos llamados paralelos, mientras que las líneas con v = constante, llamados meridianos son líneas geodésicas de longitud y curvatura mínimas. Además los coeficientes de la primera forma fundamental o tensor métrico de una superficie resultan ser:

Por lo que la métrica es diagonal. En cuanto a la segunda formafundamental relacionada con la curvatura de la superficie también toma una forma particularmente simple:

Superficies de revolución
Son superficies generadas por una línea, denominada generatriz o
meridiano que gira alrededor de un eje de revolución. Cada punto de la curva
genera en su giro circunferencias directrices o paralelos. Las generatrices son
todas iguales, y las directrices son circunferenciascon distinto radio.
En términos generales, se denomina superficie de revolución a toda figura geométrica que se forma al hacer girar una recta móvil alrededor de otra fija. Conos, cilindros y, en sentido amplio, esferas son grandes categorías genéricas de figuras engendradas por la rotación de elementos geométricos en torno a un eje fijo.
Cilindros: Cuando se hace girar una recta alrededor de...