Superficies De Revolucion

JESÚS VERA
2005-2

• Una superficie de revolución es aquella que
se engendra haciendo girar una curva
y = f(x), ala cual llamaremos curva
generatriz. alrededor de cualquier eje,
llamadoeje de revolución.

EJEMPLO:
•

Descripción:   Superficie
obtenida por revolución de
una rosa de tres pétalos.

•

      = a Cos[n ]

•

  Gráfica para n=3, a=1.

Alrededor del eje“x”

Y tiene como curva generatriz:  = a Cos[n ]

• Se define como el
limite de la suma de
las áreas laterales.

Las áreas laterales estan determinadas por:
•
•
•
•

Area lateral =2¶NM(CE)
CE = [1+f’(x)2]1/2x
NM = (Y1- E1)
Sustituyendo:

• A l = 2¶ (Y1- E1) [1+f’(x)2]1/2x

Si aplicamos la definición y obtenemos el limite de la suma
de las áreas laterales obtenemos :2¶ (Y ) [1+f’(x ) ]
i

•

i

2 1/2

xi

lo que es igual a :

• 2¶  (Y) [1+f’(x)2]1/2dx

El volumen de un solido de revolución esta determinado por:
• Sea la función “f” continua en elintervalo cerrado [a,b], y
supongamos que f(x) >= 0 para toda x en [a,b]. Si S es el
solido de revolución obtenido al girar alrededor del eje x la
region limitada por la curva y = f(x), eleje x, y las rectas
x=a y x=b, si V es el volumen de S en unidades cúbicas,
entonces:
• V= lim  [f(xi)]2 xi
 0
V =  [f(x)]2 dx

• Cuando una superficie
plana gira alrededor de uneje situado en el mismo
plano, y este eje no corta a
la superficie, se forma un
solido de revolución
hueco.

El volumen de un solido de revolucion hueco esta
determinado por:
• Sean lasfunciones f y g continuas en el intervalo cerrado
[a,b] y supongamos que f(x)>=g(x)>=0 para toda x en
[a,b]. Entonces si V unidades cubicas es el volumen del
solido de revolicion generadoal girar, alrededor del eje x,
la region limitada por las curvas y=f(x) y y=g(x) y las
rectas x=a y x=b,
• V = lim  ([f(xi)]2 – [g(xi)]2)xi
 0
V =  [f(x)]2 - [g(xi)]2 dx