Superficies minimas

Premios del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid para Estudiantes de Secundaria Primera Edición, 2006/2007

TRABAJO: De las superficies mínimas, las pompas de jabón y otras construcciones óptimas
MENCIÓN ESPECIAL (POR SU CARÁCTER EXPERIMENTAL) AUTORES: o o o o Diego Jimeno Génova Julia Díaz Sáez Eva Mª Martín Fernández Roberto Martín Sánchez

TUTORES: o Carmen BasLópez CENTRO: IES San Fernando (Madrid)

GRUPO: EN TU POMPA

De las superficies mínimas, las pompas de jabón y otras construcciones óptimas Grupo “En tu pompa”

ÍNDICE

1.- INTRODUCCIÓN 2.- CONTEXTO HISTÓRICO 3.- OBJETIVOS 4.- MATERIAL, MÉTODO Y RESULTADOS 4.1.- REFERENCIAS HISTÓRICAS 4.2.- TRABAJO DE LABORATORIO 4.2.1.- PRÁCTICA 0: la esfera como cuerpo geométrico con menor superficiepara un determinado volumen. 4.2.2.- PRÁCTICA 1: la tensión superficial 1º experimento: la forma esférica es la más estable 2º experimento: ¿puede flotar el metal en agua? 3º experimento: ¿puede actuar el agua como un pegamento? 4.2.3.- PRÁCTICA 2: el efecto del jabón sobre la tensión superficial y la formación de superficies mínimas 4.2.4.-PRÁCTICA 3: las matemáticas de las pompas de jabón.Superficies minimales. Leyes de Plateau 1º experimento: láminas jabonosas que se cortan en aristas y aristas que se cortan en un punto . 2º experimento: superficies minimales en estructuras tridimensionales 3º experimento: caminos mínimos. Problema de Steiner y punto de Fermat

5.- CONCLUSIONES GENERALES 6.- BIBLIOGRAFÍA 7.- ANEXO: FOTOGRAFÍAS

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De las superficies mínimas, las pompas de jabóny otras construcciones óptimas Grupo “En tu pompa”
“La simetría es una idea por medio de la que el hombre de todas las épocas ha tratado de comprender y crear la belleza, el orden y la perfección”. (Herman Weyl)

INTRODUCCIÓN
Si miramos a nuestro alrededor descubrimos asombrosas configuraciones naturales. Es como si la naturaleza supiese matemáticas. Vemos simetrías en las formas y mucharegularidad en las disposiciones. Si nos acercamos a un panal de abejas sus celdillas tienen sección hexagonal; las alas de ciertos insectos, por ejemplo las libélulas, presentan un enrejado, igualmente, casi hexagonal y si seguimos buscando hexágonos los encontramos en situaciones que deben recubrir un plano sin dejar huecos. Volvamos la vista hacia las plantas. Las semillas de los girasoles sedistribuyen formando espirales que también las encontramos en la lengua de las mariposas y en el crecimiento de los caracoles. Vemos que se ha elegido la espiral como forma geométrica en otras muchas configuraciones naturales. Los planetas son esféricos así como también lo son las gotas de agua y las pompas de jabón. ¿Por qué esto es así?. ¿Qué propiedades tienen estas formas para que la naturaleza lashaya elegido por encima de todas las demás?. Parece que la naturaleza es sabia a la hora de tomar decisiones. Hay situaciones en las que la naturaleza actúa de manera que minimiza longitudes y superficies, por ejemplo, la línea recta para un rayo de luz y una esfera para una burbuja. En 1744, Pierre-Luís Moreau de maupertuis, Propuso su gran Esquema del Mundo: “La naturaleza opera siempre con lamáxima economía”. Geométricamente, los hexágonos rellenan el plano sin dejar huecos y las espirales ahorran espacio; La circunferencia y la esfera tienen la máxima simetría y cumplen los principios de optimización. La rama de las matemáticas que trata los problemas de máximos y mínimos es el Cálculo de Variaciones o Cálculo Infinitesimal. Minimizar áreas es equivalente a resolver una ecuacióndiferencial parcial asociada, la ecuación de Euler-Lagrange. En este punto tenemos que aclarar que nuestros conocimientos matemáticos no abarcan, todavía, este tema pero comprendemos lo que significa. Sabemos, porque lo hemos leído y posteriormente experimentado,

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De las superficies mínimas, las pompas de jabón y otras construcciones óptimas Grupo “En tu pompa” que, a veces, los problemas de...