Superficies

SUPERFICIES Y CURVAS EN EL ESPACIO
Es este material se presentan algunas gráficas confeccionadas con el software MAPLE. A continuación de cada una se indica la sentencia
utilizada para obtenerla.
Tenga en cuenta que: 1) antes de realizar este tipo de gráficas es necesario cargar, por una sola vez durante la sesión de trabajo, el paquete
de comandos gráficos, escribiendo with(plots):. 2)después de ingresar cualquier sentencia se debe terminar con ;.

Ejercicio 1: Estudiar y representar gráficamente el lugar geométrico de los puntos del espacio, cuya ecuación
es:
a)

x +3 y =9 .

Esta ecuación representa (en R3) un plano proyectante sobre el plano coordenado XY.
z

3
y

9
x

x 2 + z 2 = 4 . (Implícitamente la variable y asume cualquier valor).
2
2
2
2
La ecuación x+ z = 4 podría escribirse x + 0 y + z = 4 y representa un cilindro circular proyectante
b)

sobre el plano XZ.

> with(plots):
> implicitplot3d(x^2+z^2=4,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]);
c)

9 x 2 + y 2 = 16 .

Esta ecuación representa en R3 un cilindro elíptico proyectante sobre el plano XY. Se muestran las gráficas

⎧9 x 2 + y 2 = 16
de la superficiecilíndrica y de la directriz de ecuaciones: ⎨
.
⎩z = 0
Observación: La curva directriz es una elipse. Considerada como una curva de R3 se expresa a través de la
intersección del cilindro elíptico con el plano coordenado XY. En la gráfica que se muestra, el eje Z es
perpendicular al plano del papel.
La ecuación de esa elipse como curva en R2 se expresa a través de la ecuación: 9 x + y = 16 .
2

2> implicitplot3d(9*x^2+y^2=16,x=-2..2,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]);

1

d) x = 4 z .
Esta ecuación representa un cilindro parabólico proyectante sobre el plano X, cuya directriz está dada por
2

⎧ x 2 = 4z
las ecuaciones: ⎨
.
⎩y = 0

> implicitplot3d(x^2=4*z,x=-2..2,y=-5..5,z=-1..1,numpoints=3000,labels=[y,z,x]);
e) 4 x − y = 16 .
Esta ecuación representa uncilindro hiperbólico proyectante sobre el plano XY, cuya directriz está dada por
2

2

⎧4 x 2 − y 2 = 16
las ecuaciones: ⎨
⎩z = 0

> implicitplot3d(4*x^2-y^2=16,x=-10..10,y=-15..15,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,z,x]);
f)

sen x − y = 0 .

⎧senx − y = 0
corresponden
⎩z = 0

Es la ecuación de un cilindro proyectante sobre el plano XY. Las ecuaciones ⎨
a la curva directriz que serepresenta en el segundo gráfico.

> implicitplot3d(sin(x)-y=0,x=-3*Pi..3*Pi,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]);
g) x z = 1 .
Es la ecuación de un cilindro hiperbólico proyectante sobre el plano XZ. La curva de ecuaciones:

⎧ x z =1
corresponde a la directriz que se representa junto a la superficie.
⎨
⎩y = 0

2

>implicitplot3d(x*z=1,x=-3..3,y=-5..5,z=-5..5,labels=[z,y,x],numpoints=9000);

{

}

h) x z = 0 . Sea A= ( x, y , z ) ∈ ℜ / x z = 0 .
3

P ∈ A ⇔ x z = 0 ⇔ x = 0 ∨ z = 0 ⇔ P pertenece al menos a uno de los planos coordenados YZ o XY.
i) 5 x + 6 x y + 5 y − 8 = 0 . Es la ecuación de un cilindro elíptico proyectante sobre el plano XY.
2

2

>implicitplot3d(5*x^2+6*x*y+5*y^2-8=0,x=-3..3,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]);
j) x + 2= 0 . No existe ningún punto del espacio R3 cuyas coordenadas verifiquen esta ecuación.
2

Ejercicio 2: Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica, en los siguientes casos:

⎧x 2 = 2 y
Γ⎨
.
⎩z = 0
La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos P ( x, y , z ) que pertenecen a las rectas:
⎧ x = x0
⎪
g ) ⎨ y = y 0 t ∈ ℜ (1), cuando (x 0 , y 0 , z 0 ) varia en Γ .
⎪z = z +t
0
⎩
⎧ 2
⎪ x0 = 2 y 0
(x0 , y 0 , z 0 )∈ Γ ⇔ ⎨
(2).
⎪z0 = 0
⎩
a) Generatriz paralela al eje “z” y directriz dada por las ecuaciones:

⎧x 2 = 2 y
t ∈ ℜ.
Despejando ( x 0 , y 0 , z 0 ) de (1) y reemplazando en (2) resulta: ⎨
⎩z − t = 0
2
En consecuencia: x = 2 y ∀z es la ecuación de la superficie cilíndrica parabólica proyectante sobre el
plano XY pedida. Se muestra su gráfica...