superficies

SUPERFICIES

Película sin espesor que recubre un cuerpo.
Según Euclides: “aquello que solo tiene longitud y anchura”.
Cuerpo es volumen; Superficie es envoltorio.
Es el lugar geométrico de las posiciones de una línea indeformable o no,
llamada generatriz que se mueve en el espacio según una ley.




También se puede generar como envolvente de las sucesivas posiciones de otrasuperficie que se mueve, cambiando o no su forma, según una ley (superficies directoras). Las superficies también pueden ser limitadas o ilimitadas.



Una superficie admite distintas formas de generación, por eso se dificulta su clasificación. La superficie más sencilla es el plano, generado por una recta.
El plano nos da el elemento constitutivo de otras superficies, al igual que el elementorectilíneo con respecto a una curva. Tres puntos infinitamente próximos de una superficie nos da el elemento plano de la misma; y la superficie se puede considerar como el límite de una superficie poliédrica de infinito número de caras.

Plano tangente a una superficie en un punto, es el plano que contiene a todas las rectas tangentes a todas las curvas incluidas en la superficie que pasan por elpunto.
Cuando una superficie admite en un punto un solo plano tangente, se dice que el punto de la superficie es regular (la ecuación de la superficie es diferenciable en el punto). Cuando no admite plano tangente en un punto (porque todas las tgs a las curvas de la superficie que pasan por el punto no son coplanares), el mismo se llama singular (no es difenrenciable en ese punto). La superficie noes “suave” y presenta una arista.

Recta normal a una superficie en un punto, es la recta normal al plano tg en el punto.
Si la superficie viene dada en forma implícita F(x;y;z)= 0

Plano normal a una superficie en un punto es cualquier plano que contenga a la recta perpendicular a la superficie en ese punto.

Orden o grado de una superficie es el número máximo de puntos comunes conuna recta. Así las de 2º orden: cuádricas; 3º orden: cúbicas; 4º orden: cuárticas. El plano de 1er orden. Toda sección plana de una superficie es del mismo orden que ésta: la de un plano es una recta, la de una cuádrica es una cónica.

Clase de una superficie es el número de planos tangentes que se le pueden trazar desde una recta.

Clasificación: Plano.Poliedros: tetraedro, cubo, dodecaedro…
a.1) Desarrollables Radiadas: conos, pirámides, cilindros, prismas.
a) Regladas De igual pendiente.
generatriz Tangenciales: helicoide desarrollable.
rectaDe tres directrices: paraboloide hiperbólico.
a.2) Alabeadas De plano director: coniode, helicoide recto.
De cono director: helicoides alabeados.Paraboloide hiperbólico.








Helicoide alabeado recto.






Hiperboloide de una hoja: obtenido por rotación de una hipérbola alrededor de su eje imaginario, o por la rotación de una recta alabeada con el eje alrededor de éste.Catedral de Brasilia.



b) Curvas b.1) de 2do grado: esfera, elipsoide, paraboloide…
generatriz b.2) de revolución: toro, catenoide, escocia…
curva b.3) helicoides curvos,...