superficies

Cónicas y cuádricas

Los más grandes dinosaurios, como el Estegosauro (foto) y el
Brontosaurio, tienen una joroba producto de que su espina
dorsal (esqueleto) posee forma aproximadamente parabólica
que le permite soportar su gran peso.
Fuente: Museo Nacional de Historia. Washington, EEUU.

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El mundo de las cuádricas
Del espacio al plano
Ahora queremos estudiar ciertas posicionesde planos en relación con algunas superficies, en específico,
hacer la intersección (corte) con planos de una superficie del espacio con el fin de obtener curvas sobre esa
superficie.

Cortes de una superficie esférica

Cortes de una superficie cilíndrica

Al hacer un corte con un plano a una esfera
(superficie esférica), resulta una circunferencia.
Polo

Al hacer un corte con un planoparalelo a la
base (perpendicular al eje) a una superficie
cilíndrica recta, resulta una circunferencia.

O

Circunferencia
mayor
Elipse

Circunferencia menor

Circunferencia

Polo

Cuando el plano pasa por el centro O de la
esfera se obtiene una circunferencia máxima,
cuyo radio es igual al radio de la esfera y la
esfera es simétrica respecto de dicho plano.
Cada parte de laesfera que está "a un lado"
de ese plano es un hemisferio.

Cortes de una superficie cónica
Al hacer un corte con un plano paralelo a la
base (perpendicular al eje) a una superficie
cónica recta, resulta una circunferencia.

Eje

Si el corte se hace con un plano no paralelo
a la base y cortando al eje, se obtiene una
elipse.

Si el corte se hace con un plano no paralelo a la base
delcono, entonces se obtiene una elipse, una parábola
o una rama de hipérbola, dependiendo de la inc1inación de ese plano.
En general, sabemos que el corte de una superficie
cónica con un plano que no pasa por el vértice es una
cónica.

Eje

Elipse

Circunferencia

Fascículo 16 • Cónicas y cuádricas

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1) ¿Qué se obtiene al cortar una superficie cilíndrica
recta con un plano queno corta el eje ("paralelo"
al eje)?
2. ¿Qué se obtiene al cortar una superficie cónica
recta con un plano que contiene al eje?
3) ¿Qué se obtiene al cortar un poliedro con un
plano?

Plano perpendicular al eje
Eje de giro
Paralelo

Del plano al espacio
Cuando se hace la rotación de una curva plana C respecto de
una recta de dicho plano, se obtiene una superficie del espaciodenominada superficie de rotación o de revolución. La recta
se llama eje de revolución o eje de giro, y es un eje de simetría
de la superficie.
Los cortes de esa superficie de revolución con planos perpendiculares al eje son circunferencias denominadas paralelos.

C

Paralelo

Los sólidos limitados por superficies de revolución se denominan sólidos de revolución y es frecuente
encontrarlos enla vida cotidiana.
Los siguientes ejemplos son sólidos de revolución fabricados por seres humanos:

Cauchos

Embudo

Pistón

Luminaria

Copa

Bombillo

Lápiz

Barril

También hay gran variedad de sólidos que se encuentran en la naturaleza que tienen una forma aproximada
a sólidos de revolución.

Manzana

Patilla

Fascículo 16 • Cónicas y cuádricas

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HuevoPlanetas

Las cuádricas de revolución
Rotando un rectángulo alrededor de uno de
sus lados, resulta una superficie cilíndrica.

Rotando un triángulo rectángulo alrededor
de uno de sus catetos, resulta una superficie
cónica.

Eje

Las superficies cilíndricas, las esferas (superficies esféricas) y las superficies cónicas son tres ejemplos de
cierto tipo de supeficies denominadas superficiescuádricas o simplemente cuádricas. En este caso, como
se obtienen mediante rotación, son cuádricas de revolución. Éstas no son las únicas cuádricas que hay.
Al rotar una circunferencia (o una semicircunferencia)
en torno de uno cualquiera de sus diámetros (de su
diámetro), se obtiene una esfera.
Eje

Fascículo 16 • Cónicas y cuádricas

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Eje

¿Cuáles superficies se obtienen al...