superficies

Superficies en el espacio.

Una superficie es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo  (técnicamente localmente homeomorfo al plano) que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de una superficie esta se aproxima bien por el plano tangente a la superficie en dichopunto. Esta propiedad de ser homeomorfa con el plano permite construir un sistema de coordenadas local bidimensional en torno a cualquier punto en la superficie. Se puede llamar
al homeomorfismo local que va de la superficie a  comocarta y al inverso (de este homeomorfismo) parametrización. No siempre es posible parametrizar una superficie con un único homeomorfismo local.Ilustración de una superficie curvada, inmersa en , orientable y con borde; sobre la que se ha dibujado un conjunto de líneas coordenadas ortogonales.


PROPIEDADES Y TIPOS DE SUPERFICIES

Las superficies usuales son versiones curvadas del plano, de hecho son localmente homeomorfas a él. No es extraño por tanto que varios tipos de superficies interesantes en las aplicaciones, se definan a partirde propiedades de curvatura respecto al plano euclídeo o en términos de isometrías. Además otros conceptos topológicos interesantes como la orientabilidad permiten expresar formalmente ciertas propiedades de las superficies.

Superficies cerradas
Intuitivamente una superfice cerrada en el espacio tridimensional es cualquier superfice que encierra un volumen, dividiendo a dicho espacio en unaregión "acotada" y una región "no acotada". En 4 o más dimensiones también existen superficies cerradas pero la noción intuitiva anterior no es válida, ya que las superficies cerradas en más dimensiones no dividen al espacio de esta forma.
Puede comprobarse que en tres dimensiones una superficie sin borde encierra un volumen, como por ejemplo la esfera y el toro o "donut", estas superficies sonademás superficies orientables. De hecho todas las superficies cerradas inmersas en el espacio tridimensional son orientables, a diferencia de lo que ocurre en más dimensiones.
Otras superficies cerradas más exóticas son el plano proyectivo y la botella de Klein (definible en 4 dimensiones).
Un disco (en ), un cilindro de altura finita o la banda de Möbius son ejemplos de superficies con frontera.Como la imagen siguiente:







Un ejemplo de una superficie cerrada y múltiplemente conexa es el triple toro.


Superficies desarrollables, regladas y alabeadas
Algunas superficies tienen propiedades interesantes que son expresables en términos de su curvatura, estos tipos son las superficies desarrollables, regladas y alabeadas:
Intuitivamente una superficie es desarrollable sipuede fabricarse a partir de un plano euclídeo mediante "doblado". El cono y el cilindro son desarrollables, lo cual se manifiesta en que se pueden construir modelos apropiados a partir de una hoja de papel o cartulina plana. Formalmente dada una superficie desarrollableexiste una isometría entre la superficie y el plano euclídeo. Una condición necesaria y suficiente para que una superficie sedesarrollable, se desprende del theorema egregium de Gauss, es que la curvatura gaussiana de dicha superficie sea idénticamente nula.
Una superfice reglada cuando el plano tangente para cada punto de la misma contiene una línea recta completamente contenida sobre la superficie. Una condición necesaria es que la segunda forma fundamental sea en ese punto una forma cuadrática indefinida y por tantola curvatura gaussiana es negativa.
Una superficie alabeada es una superficie reglada y no-desarrollable.


Superficies orientable
Una última propiedad menos intutiva es la de orientabilidad, que permite distinguir entre superficies orientables y no-orientables. Una superficie orientable puede definirse simplemente como una variedad orientable de dimensión dos, donde toda curva cerrada simple...