Superricies

Calculo Vectorial
Superficies
Sea el sistema de ecuaciones
G{█(f1(x,y,z,w)=0 @f2(x,y,z,w)=0)}-----1
Donde w es un parámetro, si se asigna un a w un valor constante “p” a w se obtiene de las ecuaciones 1 un sistemas de 2 dos ecuaciones en (x,y,z) que representan a una curva.
Si suponemos que las ecuaciones son continuas con respecto a w se pueden definir superficies como la totalidad de lasposiciones de una curva móvil llamada generatriz, que se desplaza y generalmente cambia de forma según una ley determinada.
Para encontrar la ecuación de la superficie generada por las curvas 1 w de estas ecuaciones, obteniendo una de las formas F(x,y,z)=0 que representa una superficie
Encontrar la ecuación de la superficie
G{█(y^2=2xw=0 ----1@2z+4xw+wy=0---2)}
w=y^2/2x-----3
Sustituyendoa 3 en 2
2z+4x(y^2/2x)+(y^2/2x)y=0
2z+2y^2+y^3/2x=0
Ec. de la superficie pedida
Encontrar la superficie de la ecuación generada por
g{█(3+z-wx=0@ z^2+yw=0)}
w=(z+3)/x
z^2+(3y+yz)/x=0
(xz^2+3y+yz)/x=0
xz^2+3y+yz=0 Ec.de la superficie generada
La clase más simple de superficie es el plano (esfera, cilindro)
Superficie cilíndrica (superficie Reglada)
Una superficie cilíndrica es elconjunto de todas las rects que se apoyan en una recta plana que se llama directriz y que son paralelas a una recta fija que no esta en el plano de la curva, a todas las rectas se les llama generatrices las ecuaciones de los cilindros con generatriz paralela al eje z, carece de variable z.
Nota: Así F(x,y) en el plano es una curva mientras que en R^3,es un cilindro con generatriz paralela a uneje coordenado
La recta móvil se llama generatriz y a la curva fija es una directriz
Superficie cilíndrica: superficie generada por una recta que se mueve de tal manera que se mantiene siempre paralela a una recta fija dada.
Método de las generatrices para conocer la ecuación de una superficie
En una forma general, una superficie se considera generada cuando curvas generatrices
G{█(f_1(x,y,z,α,β,γ)=0 @f_2 (x,y,z,α,β,γ)=0)}----1 Generatriz
Se desplaza o se deforma en el espacio apoyándose constantemente en curvas fijas llamadas directrices
Supongamos que la generatriz anterior G debe desplazarse o deformarse apoyándose en la directriz D.
D{█(y_1 (x,y,z)=0 @y_2 (x,y,z)=0)}----2 Directriz
Para que se cumpla 1 se debe obligar a 2 a que pueda resolverse. Así al sustituir lasvalores o resolver 1 y 2 su resultado tiene que ser.
φ_1 (α,β,γ)=0 Ec.de condición 1
Esta es una ecuación de condición que debe cumplirse para que la generatriz toque a la directriz.
Debe notarse que una directriz ha proporcionado una sola ecuación de condición entre parámetros de la generatriz aparecerán de ellos, se necesita otra ecuación de condición la cual puede obtenerse de una segundadirectriz.
D{█(h_1 (x,y,z)=0 @h_2 (x,y,z)=0)}----3 Directriz
Procediendo en forma idéntica al procedimiento anterior obtenemos.
φ_2 (α,β,γ)=0 Ec.de condición 2

Y de ahí con todas las condiciones se obtiene.
f(x,y,z)=0 Ec.de la superficie
Superficies cónicas
Es la engendrada por una línea recta que se mueve de tal manera que pasa siempre por una curva fija y un punto fijo no contenido en elplano de la curva. La ecuación de es homogénea en las 3 variables.

Superficie cónica
Es el conjunto de todas las rectas que pasan por un punto fijo llamado vértice y que se apoyan en una curva fija llamada directriz. Las rectas se llaman generatrices.
Para una directriz
D{█(f(x,y)=0 @z=0)}
La ecuación de una recta en forma simétrica ( en el espacio)
(x-x_0)/a=(y-y_0)/b=(z-z_0)/c
Losnúmeros directores de la recta son variables (en este caso) pues la generatriz cambia continuamente de dirección.
(x-x_0)/a=(y-y_0)/b → x-x_0=a(y-y_0 )/b haciendo a/b=α
x=α(y-y_0 )+x_0
(y-y_0)/b=(z-z_0)/c → y-y_0=b(z-z_0 )/c haciendo b/c=β
y=β(z-z_0 )+y_0
Nota α y β son parámetros
D{█(f(x,y)=0@ z=0)} → G{█(x=α(y-y_0 )+x_(0 )@y=β(z-z_0 )+y_0 )}
 
Discusión de la...