Supremo E Infimo De Un Conjunto

Supremo e ´ ınfimo de un conjunto
Objetivos. Definir las nociones del supremo y del ´ ınfimo de un conjunto y estudiar sus propiedades b´sicas. a Requisitos. Eje real extendido, cotas superiores einferiores.

Supremo de un conjunto
1. Definici´n (supremo de un conjunto). Sea A ⊆ R. Un elemento b ∈ R se llama o supremo de A o cota superior exacta de A si b es la cota superior m´ ınima de A, esdecir, el elemento m´ ınimo del conjunto de todas las cotas superiores de A. 2. Unicidad del supremo. De la definici´n est´ claro que si existe un supremo de A, o a entonces es unico. ´ 3. Supremo delconjunto vac´ Encuentre el supremo del conjunto vac´ ıo. ıo. 4. Conjuntos no acotados superiormente. Un conjunto A ⊆ R se llama no acotado superiormente si su unica cota superior es +∞. ¿Cu´l es elsupremo de un conjunto no ´ a acotado superiormente?. 5. Existencia del supremo de todo subconjunto no vac´ acotado superiormente ıo (sin demostraci´n). Todo conjunto A ⊆ R no vac´ y acotado superiormentepos´e un o ıo e unico supremo. ´ Uniendo los tres casos concluimos: 6. Existencia del supremo de todo subconjunto del eje real extendido. Todo ´ o subconjunto A de R tiene un unico supremo. Notaci´n:sup(A). 7. Descripci´n del supremo mediante un sistema de dos condiciones. Un eleo o mento b ∈ R es el supremo de un conjunto A ⊆ R si y s´lo si se cumplen dos condiciones: 1. ∀a ∈ A 2. ∀c < b a ≤ b.∃a ∈ A a < c.

´ Infimo de un conjunto
8. Escriba la definici´n del ´ o ınfimo (notaci´n: ´ o ınf) y los enunciados correspondientes. 9. Describa el ´ ınfimo de un conjunto mediante un sistema de doscondiciones.

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Supremo e ´ ınfimo de la uni´n de dos conjuntos o
10. Sean A, B ⊆ R. Entonces sup(A ∪ B) = m´x sup(A), sup(B) , a ´ ınf(A ∪ B) = m´ ´ ın ınf(A),´ ınf(B) .Monotonicidad del supremo y del ´ ınfimo
11. Sean A, B ∈ R tales que A ⊆ B. Entonces sup A ≤ sup B. 12. Sean A, B ∈ R tales que A ⊆ B. Entonces ´ A ≥ ´ B. ınf ınf

Supremo, ´ ınfimo y operaciones...