Supremo

Supremo

Un conjunto A de números reales (representados por círculos azules), un conjunto de cotas superiores de A (círculos rojos), y el mínimo de las cotas superiores, el supremo de A(diamanterojo).
En matemáticas, dado un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado (P, <), el supremo de S, si existe, es elmínimo elemento de P que es mayor o igual a cada elemento de S. En otraspalabras, es la mínima de las cotas superioresde S. El supremo de un conjunto S comúnmente se denota sup(S).
Definiciones
Sea T un subconjunto de R.
1. Si T está acotado por arriba , entonces se dice que unacota superior es un supremo - o una mínima cota superior- de T si es menor que cualquier cota superior de T.
2. Si T está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo - ouna máxima cota inferior- de T si es mayor que cualquier cota inferior de T. 1
Propiedades
s es supremo del subconjunto T no vacío del conjunto R de números reales si es cota superior de T y si sólo sipara toda ε > 0 existe sε en T tal que s-ε < sε.
r es ínfimo del subconjunto T no vacío del conjunto R de números reales si es cota inferior de T y si sólo si para toda ε > 0 existe rε en T tal quer+ε > sε.
Sea L un subconjunto acotado de números reales. A su vez K un subconjunto no vacío de L, entonces se cumple que inf L ≤ inf K ≤ sup K ≤inf L. 2
Si el supremo existe, entonces es único
, si esque dichos supremos existen
Un conjunto tiene máximo, si y solo si el supremo es elemento de dicho conjunto.
Ejemplos
En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormenteposee un supremo, contenido dentro del subconjunto.







Densidad
Un número real es un número que existe en la realidad, lo que significa que cada punto en la recta numérica real representa unnúmero real.
Puede ser un número racional o irracional, un número entero o trascendental, de cualquier tipo.
Existe una serie de propiedades de los números reales que deben ser estudiadas a profundidad...